La lettre de la Preuve

       

ISSN 1292-8763

Septembre/Octobre 1999

1999

Balacheff N. (1999) Contract and Custom: Two registers of didactical interaction (trans. and ed. by P. Herbst). The Mathematics Educator (University of Georgia) 9(2) 23-29.

Campbell S. (1999) The problem of unity and the emergence of physics, mathematics, and logic in ancient Greek thought. In: Lentz L., Winchester, I. (eds.) Towards scientific literacy (Proceedings of the Fourth International Conference on History and Philosophy of Science and Science Teaching, pp. 143-152) -- ISBN 0-88953-223-0

Furinghetti F., Paola D. (1999) Shadows of the semantic context on the students' mathematical proofs. In: Lentz L., Winchester, I. (eds.) Towards scientific literacy (Proceedings of the Fourth International Conference on History and Philosophy of Science and Science Teaching, pp. 272-279) -- ISBN 0-88953-223-0.

Hanna G. (1999) Some factors in the decline of proof in the curriculum. In: Lentz L., Winchester, I. (eds.) Towards scientific literacy (Proceedings of the Fourth International Conference on History and Philosophy of Science and Science Teaching, pp. 345-352) -- ISBN 0-88953-223-0.

Harel G., Sowder L. (1999) Students' proof schemes. In: Lentz L., Winchester I. (eds.) Towards scientific literacy (Proceedings of the Fourth International Conference on History and Philosophy of Science and Science Teaching, pp. 354-396) -- ISBN 0-88953-223-0.

Luengo V. (1999) A semi-empirical agent for learning mathematical proof. In: Lajoie P., Vivet M. (eds.) Artificial Intelligence and Education (pp. 475-482). Amsterdam: IOS Press -- Tokyo: Ohmsha.

Melis E., Leron U. (1999) A proof presentation suitable for teaching proofs. In: Lajoie P., Vivet M. (eds.) Artificial Intelligence and Education (pp. 483-490). Amsterdam: IOS Press -- Tokyo: Ohmsha.

   

1998

Texte on-line

Douek N. (1998) Some remarks about argumentation and mathematical proof and their educational implications. First CERME international conference. Osnabrück, Germany.

Koedinger K. R. (1998) Conjecturing and argumentation in high school geometry students. In Lehrer, R. and Chazan D. (eds.) New Directions in the Teaching and Learning of Geometry.  Hillsdale: NJ: Lawrence Erlbaum Associates.

 

Archives

Chemla K. (1991) Theoretical aspects of the Chinese algorithmique tradition (first to third century). Historia scientiarum. 42, 75-98 (+errata)

Chemla K. (1992) Résonance entre démonstration et procédure. Remarques sur le commentaire de Liu Hui (3ième s.) aux Neuf Chapitres sur les Procédures Mathématiques (1ier s.). Extrême-Orient, Extrême-Occident 14, 91-129.

Chemla K. (1996) Relations between procedure and demonstration. Measuring the circle in the Nine Chapters on Mathematical Procedures and their commentaries by Liu Hui (3rd century). History of mathematics and Education: Ideas and Experiences (pp. 69-112). Göttingen: Vandenboeek and Ruprecht.

Chemla K. (1997) What is at stake in mathematical proofs from the third century China. Science in Context 10(2) 227-251.

de Villiers M. (1997) A Fibonacci Generalization: A Lakatosian Example. PME XXI (Vol.1 p.269). Lahti, Finland.

Koedinger K.R., Anderson J.R. (1991) Interaction of deductive and inductive reasoning strategies in geometry novices. In Proceedings of the Thirteenth Annual Conference of the Cognitive Science Society, Hillsdale: NJ: Erlbaum.

Toulmin S. E. (1993) Les Usages de l'Argumentation (Traduit de l'anglais, 1958, par Ph. deBrabauter). Paris : PUF.

 

  

Pour un questionnement ethnomathématique de l'enseignement de la preuve

par
Nicolas Balacheff
 

Lorsque l'on consulte le récent International Handbook for Mathematics Education, on constate que le chapitre consacré à la Preuve se trouve inséré entre celui sur l'épistémologie et celui sur l'ethnomathématique. Faut-il voir là une simple coïncidence ? hasard de l'organisation académique de l'ouvrage. Peut-être pas si l'on en juge par l'introduction de Ken Clements qui cherche à donner une cohérence à la partie de l'ouvrage qui rassemble ces trois chapitres. Quoiqu'il en soit, je propose que nous engagions une réflexion sur ce rapprochement, en effet je soutiendrais dans ce billet que l'enquête ethnomathématique est tout aussi nécessaire aux recherches sur l'enseignement et l'apprentissage de la preuve en mathématiques que l'enquête épistémologique qui nous est plus familière (et est même un classique dans ce domaine).
   Pour situer l'enquête ethnomathématique, je reprendrai la caractérisation qu'en propose l'un de ses fondateurs, Urbiratan d'Ambrosio : étudier les mathématiques pratiquées dans des groupes culturels identifiés, par constraste avec les mathématiques académiques ou scolaires (mais je laisserai ici ouverte la discussion sur le choix d'utiliser le terme mathématique pour désigner les pratiques en question). Ou encore cette caractérisation -- peut être moins engagée au plan épistémologique -- que suggère Paulus Gerdes, auteur du chapitre cité plus haut : étudier les mathématiques (ou les idées mathématiques) dans leurs relations à ce qui constitue globalement la vie sociale et la culture (ibid. p.916). Il est remarquable que dans son chapitre, énumérant de nombreux travaux relevant de l'ethnomathématique, Gerdes n'en mentionne aucun qui aurait pour objet la preuve en mathématiques alors que les travaux sur le dessin géométrique, le nombre ou le calcul sont très nombreux. Pourtant, il ne saurait y avoir d'enseignement prenant en charge l'entrée dans la rationalité mathématique sans prise en compte de la rationalité extérieure à la classe. Cette affirmation semble aller de soi si on en juge par la discussion engagée sur les rapports entre la preuve et l'argumentation en mathématique, mais mon intention dans est d'aller plus loin que cela :
   Je suggère que, de fait, toute transposition didactique de la preuve en mathématiques prend en compte la rationalité dominante dans la société et la culture dans laquelle elle est mise en oeuvre. L'objet d'enseignement que constitue la preuve est marqué non seulement par une conception épistémologique dont la communauté scientifique est porteuse (et gardienne), mais aussi par une conception culturelle du rapport au vrai et à la réfutation qui est portée par la société et la culture dans laquelle se déploie le système didactique. Un indice soutenant cette conjecture, et en montrant la vigueur, est la très grande diversité du vocabulaire employé dans diverses langues et dans différents cursus pour parler de la preuve, du vrai ou du valide, et de la réfutation. Ce vocabulaire peut varier au cours de la scolarité, ou entre programmes officiels et enseignement effectif (nous en attesterons dans les mois qui viennent avec des exemples venus de Hongrie ou du Japon, par exemple). Ces variations, auxquelles le mathématicien est insensible, peuvent entrainer de sérieuses difficultés dans les échanges internationaux qui impliquent des traductions (un exemple classique en est celui de la distinction entre preuve et démonstration que les langues romanes permettent et qui "passe" si difficilement en anglais). Mais la principale signification de ces difficultés n'est pas langagière, elle est théorique ! Ces difficultés ne peuvent être dépassées sans une enquête ethnomathématique qui permette de comprendre l'origine de cette diversité et ce qu'elle signifie quant à la relation des mathématiques scolaires à leur contexte social et culturel. Dans un ouvrage sur le développement cognitif, prenant en compte le contexte social, Barbara Rogoff note lors d'une observation que ce qui sépare le sujet de l'observateur est moins la 'logique' que la possibilité de ce mettre d'accord sur ce qui peut être tenu pour vrai (ibid. p.30). Ce qui est en jeu est la reconnaissance et la prise en compte du caractère "institutionnel" de règles de décision et de contrôle liées à la mise en oeuvre de représentations, de techniques de calcul, voire de ce qu'Alan Bishop appelle des technologies symboliques des mathématiques. Comment l'école prend-elle en compte ces règles et les pratiques 'formalisées' (mais le plus souvent implicites) qui en accompagnent l'utilisation ?

Je sollicite ceux qui seraient intéressés par ces questions pour qu'ils contribuent à initier cette enquête etnomathématiques en répondant aux quelques questions ci-dessous ou en sollicitant la contribution de personnes qui n'accèdent pas au web mais pourraient apporter des informations :

  • Quels sont les mots utilisés pour traduire "démonstration", "preuve", dans votre langue, votre culture ? Quels aspects distinguent les diverses possibilités ? Quels termes sont utilisés dans l'enseignement (selon les niveaux scolaires) ?
  • Quels sont les mots utilisés pour traduire "contre-exemple", "réfutation", dans votre langue, votre culture ? Quels aspects distinguent les diverses possibilités ? Quels termes sont utilisés dans l'enseignement (selon les niveaux scolaires) ?
  • Comment s'exprime dans votre culture, votre société, le fait que l'on soit sûr de la validité d'un énoncé ? que l'on ait confiance en sa vérité ? Existe-t-il différents moyens linguistiques, pragmatiques ? Qu'en est-il à l'école ?
  • Comment s'exprime dans votre culture, votre société, un désaccord, une contradiction ? Existe-t-il différents moyens linguistiques, pragmatiques ? Qu'en est-il à l'école ?
 

Bishop A. J. et al. (eds.) (1996) International Handbook of Mathematical Education (esp. Ch. 22, 23 & 24). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
Bishop A. J. (1988) Mathematical Enculturation. Dordrecht: Kluwer Ac. Pub.
d'Ambrosio U. (1993) Etnomatemática. São Paulo: Editora Atica S. A.
Gerdes P. (1996) Ethnomatematics and Mathematics. In: Bishop A. J. et al. (eds.) International Handbook of Mathematical Education (pp.909-943). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
Rogoff B. (1990) Apprenticeship in thinking. Oxford University Press.
 

Archives du Web

Démonstration, ordinateur
et couleurs

par
Nikos Lygeros

Archives du Web

Cahier de lecture de l'AE-MCX

 

 Plutôt que d'un article, il s'agit d'un essai proposé à la  réflexion et probablement au débat, quelques lignes de l'auteur en présente l'esprit :

"Considérons le principe suivant. Si un théorème  dépend de toute la structure de l'objet étudié, alors, pour rendre son utilisation effective il faudra sans doute l'ordinateur. Il est bien évident que la véracité de ce principe dans le cas général est contestable, pour le voir il suffit de considérer un problème qui ne concerne que peu d'objets. Par contre si l'on a affaire à un grand nombre d'objets et s'ils sont un tant soit peu compliqués, alors, la puissance du principe devient flagrante."
   "[...] De toute façon le but que nous désirons atteindre ici n'est pas de construire une théorie complètement axiomatisée du rôle de l'ordinateur au sein de la théorie de la démonstration. Nous nous contentons seulement, du moins pour l'instant, d'écrire les prémices de cette théorie de la démonstration."

 De nombreuses références et des  comptes- rendus de lecture sur le thème de la  complexité et de la pluridisciplinarité, avec  parmi les titres touchant au thème de la Lettre  de la Preuve :
   Philosophie de la logique et philosophie  du langage (Bouveresse), Essai sur quelques controverses de mathématiciens (Bruter), La norme du vrai (Engel), Logique et langage (Grize), Fondements des mathématiques (Lesniewski), La négation sous ses divers aspects (Mieville), Intuitionisme et théorie de la démonstration (Largeault)

Rethinking Proof with Sketchpad

by
de Villiers M.

Web Archives

Randomness and Mathematical Proof

by
Gregory J. Chaitin

Rethinking Proof harnesses the power of Dynamic Geometry to engage students not only in making and proving conjectures, but in thinking about proof in a radically different way. Although many mathematics teachers and mathematics educators believe that mathematicians prove theorems for the sole purpose of verifying their proof, De Villiers offers other motivations for proof besides verification, including explanation, discovery, challenge, and systematization. One reason many students have difficulty with proof is that they have an incomplete understanding of the different functions of proof in mathematics. Rethinking Proof is structured to illustrate all these roles of proof.

[Book presentation] 

 "Almost everyone has an intuitive notion of what a  random number is. For example, consider these two series of binary digits:

01010101010101010101
01101100110111100010

The first is obviously constructed according to a simple rule; it consists of the number 01 repeated ten times. [...] Inspection of the second series of digits yields no such comprehensive pattern. There is no obvious rule governing the formation of the number, and there is no rational way to guess the succeeding digits. The arrangement seems haphazard; in other words, the sequence appears to be a random assortment of 0's and 1's.
  The second series of binary digits was generated by flipping a coin 20 times and writing a 1 if the outcome was heads and a 0 if it was tails. [...] If origin in a probabilistic event were made the sole criterion of randomness, then both series would have to be considered random, and indeed so would all others, since the same mechanism can generate all the possible series. The conclusion is singularly unhelpful in distinguishing the random from the orderly.
  Clearly a more sensible definition of randomness is required [...]"

First published in
Scientific American 232, No. 5 (May 1975), pp.47-52

 
Call for contributions
 
 
TSG 12
Proof and Proving in Mathematics Education

Chief organiser
Paolo Boero

Advisors
G. Harel and C. Maher

Local Assistant organiser
M. Miyazaki
 

The TSG-12 activities will encompass the following issues:

I. The importance of explanation, justification, and proof in mathematics education;

II. Conditions for building proofs in classrooms; and

III. Long-term building of mathematical ideas related to proof making.

These issues will be considered from the following points of view:

(a) Historical and epistemological, related to the nature of mathematical proof and its functions in mathematics in an historical perspective;

(b) Cognitive, concerning the processes of production of conjectures and construction of proofs;

(c) Social-cultural aspects for student construction of proofs;

(d) Educational, based on the analysis of students' thinking in approaching proof and proving, and implications for the design of curricula

Selected contributions will introduce discussions on the different issues.

Keeping into account this general orientation, all people interested in contributing to the debate in preparation for the activities of TSG 12 at ICME9 are invited to write a 4-pages text (maximum of 12Ko) in English, and send it as a RTF-attachment to Paolo Boero...

 

The Proof Newsletter website will host these contributions which will then be accessible through that chanel.

Interested people are invited to join the first round of debate as soon as possible and hence, to send their contributions before december the 15th.
  

from THE MATH FORUM INTERNET NEWS
12 July 1999, Vol.4, No.28
 Hexagonal Honeycomb Conjecture Proved
  

 Prof. Thomas C. Hales of the Department of Mathematics, University of Michigan, whose joint proof  with Samuel Ferguson of the Kepler Conjecture we highlighted in April, has announced a proof of the Hexagonal Honeycomb Conjecture, which asserts that any partition of the plane into regions of equal area has perimeter at least that of the regular hexagonal honeycomb tiling. This paper in a variety of formats (postscript, PDF, DVI) gives the first general proof, with some historical background.

 Hales Proves Hexagonal Honeycomb Conjecture (Math Chat) - Frank Morgan, for MAA Online

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Celia Hoyles, Maria-Alessandra Mariotti, Michael Otte,
Yasuhiro Sekiguchi, Michael de Villiers

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