La percepción y la
Prueba III
Michael Otte
Institut für Didaktik der Mathematik
Bielefeld, Germany
En los artículos anteriores (en partes
I y II)
hemos visto que la percepción matemática
depende de representaciones. Esto implica que las
matemáticas se ocupan de objetos
intensionales&emdash;tal como nos lo hacen recordar las
computadoras. Por ejemplo, en Cabri-géomètre
dos triángulos que parecen ser exactamente
iguales (o congruentes) pueden comportarse de forma
diferente cuando son movidos a otro sitio en la
pantalla&emdash;porque han sido construidos en forma
diferente (son intensionalmente diferentes).
Las matemáticas se interesan en
afirmaciones acerca de objetos reales, y por lo tanto se
interesa fundamentalmente en extensiones. En efecto, existe
un estudio sistemático de las extensiones en la
teoría de conjuntos. Tal como la teoría de
conjuntos, las matemáticas dependen de demostraciones
ostensivas y de la indicabilidad, y por lo tanto, como
cualquier ciencia empírica, depende una vez
más de la percepción. Con respecto a la
teoría de conjuntos, el axioma de extensionalidad
expresa esas necesidades. Nos lleva a considerar entes de
orden más elevado&emdash;sean predicados, funciones,
o conceptos&emdash;como objetos, es decir, como
conjuntos.
Pero los conceptos o las ideas son
también -- y principalmente -- instrumentos mentales
o esquemas de acción o funciones. En su
artículo sobre la lógica de Russell,
Gödel concurrentemente propuso introducir una version
del axioma de extensionalidad para conceptos, arguyendo que
"no existe ningun par de propiedades diferentes que
pertenezcan exactamente a dos objetos iguales." Gödel
ilustra esa propuesta diciendo: "'Dos,' por ejemplo, es la
noción bajo la cuál se incluyen todos los
pares de objetos y nada más. Ciertamente existe
más que una noción que satisface esta
condición en el sentido constructivista, pero
solamente puede haber una 'forma' o 'naturaleza'
común a todos los pares (de objetos)." (K. Gödel
en P.A. Schilpp (ed.) The Philosophy of Bertrand Russell, La
Salle 1944, 138).
La noción del conjunto de todas las
cosas o del conjunto de todas las verdades y nociones
relacionadas con aquellas parecen extrañas,
contradictorias en sí mismas o simplemente
equivocadas. Por ejemplo, Piaget correctamente cree que "el
conjunto de todas las posibilidades es tan antonómico
como el conjunto de todos los conjuntos" y por lo tanto
justifica la necesidad de un enfoque genético de la
epistemología y el aprendizaje. Lo 'posible' es un
proceso y lo mismo es cierto para nociones como 'concepto,'
'idea,' o 'significado.' Estos entes parecen ser
caracterizados por la complementariedad entre proceso y
función por una parte y existencia objetiva por la
otra.
Unos 30 años después de la
publicación de su ensayo sobre Russell, Gödel
mismo ya no creía "que en general la igualdad de sus
rangos es suficiente para excluir la diferencia entre dos
conceptos" (veéase Hao Wang, A Logical Journey, The
MIT Press 1996, 275). Para ese entonces Gödel ya no
creía que el rango de aplicabilidad de un concepto
forma en general un conjunto. "Solamente conceptos que
tienen el mismo significado (intensión) serían
idénticos," dijo entonces. Las ideas o los conceptos
parecen ser entes cuyo modo de ser consiste en que son
universales y a la vez meras colecciones de instancias
concretas de acciones o aplicaciones. Ellas forman, como se
dijo, procesos, pero procesos que establecen sus propias
restricciones internas.
De modo que el problema del significado en
matemáticas y en ciencias está
inseparablemente ligado al status y al papel de las ideas
teóricas, los conceptos, y las abstracciones
hipostáticas. R. Thom, en su exposición
durante el Congreso Internacional de Educación
Matemática (ICME) en Exeter, 1972, ubicó el
problema del significado en un lugar central. "El problema
real al que se enfrenta la enseñanza de las
matemáticas no es el del rigor, sino el problema del
desarrollo del 'significado,' de la 'existencia' de los
objetos matemáticos" (Thom, 1973, p. 202). Bruner,
del mismo modo, pregunta, "Qué se le dice a un
niño que pregunta si conceptos como fuerza o
presión realmente existen?"
Para elaborar una teoría del
significado parece esencial considerar como se conciben esos
conceptos generales o universales. Podríamos decir
que el lenguaje es solamente un instrumento de
comunicación en lugar de uno de representación
y que por lo tanto el significado se basa en reglas
convencionales. El aprendizaje memorístico humano es
un ejemplo de una forma muy rudimentaria de actividad
cognitiva. Pero normalmente la memorización se ve
acompañada de un fenómeno de segundo orden al
que se puede llamar "aprender a aprender de memoria." Para
cualquier sujeto, se observa un mejoramiento en el
aprendizaje memorístico a medida que aumenta el
número de sesiones, aproximando
asintóticamente un grado de destreza que varía
de sujeto en sujeto. Esto implica que existen ciertas
intuiciones o representaciones mentales de ideas que ayudan
a conducir y controlar la actividad, y acompañan
aún esos tipos de actividad algorítmica. En
segundo lugar, los universales o conceptos generales, si se
conciben desde el punto de vista de la actividad humana
deben de ser entendidos en términos funcionales y en
relación a ciertos problemas y aplicaciones.
Un objeto matemático&emdash;sea un
punto geométrico, un númetro, o una
función&emdash;no existe independientemente de la
totalidad de sus representaciones posibles, pero tampoco
debe ser confundido con ninguna de sus representaciones
individuales. Es un objeto general que, tal como se ha
dicho, no puede como tal ser expresado completamente por sus
representaciones. Una idea no debe ser concebida como un
ente completamente aislado y distinto en el cielo
Platónico, pero tampoco debe ser confundida con
ningun subconjunto de sus posibles aplicaciones. En primer
lugar por las razones que Gödel enunció, es
decir que el rango de aplicaciones posibles no es un
conjunto bien definido. Los significados son generales en el
sentido de que se refieren a una colección indefinida
e indeterminada de aplicaciones posibles. En segundo lugar,
dos predicados o conceptos o funciones (o funciones de
funciones) deben ser considerados diferentes aun si ellos
aplican a la misma clase de objetos pues ellos influyen en
la actividad mental de manera diferente y pueden conducir a
desarrollos diferentes.
Por lo tanto, las matemáticas
modernas clásicas, como ya se ha dicho, esencialmente
trabajan con objetos intensionales y esto lleva a la
introducción de una jerarquía infinita de
niveles ontológicos. Este punto de vista es
anti-positivista y anti-nominalista en el sentido de que
considera a los conceptos o a las ideas como reales,
mientras que el anti-realismo arguye que los conceptos
teóricos son o bien innecesarios o bien una mera
façon de parler (véase R.Tuomela,
Theoretical Concepts, Springer N.Y. 1973, 3).
La naturaleza recursiva y reflexiva del
método matemático demuestra el caracter
complementario de las ideas. El topólogo Salomon
Bochner considera a la iteración de abstracciones
como la característica distintiva de las
matemáticas desde la Revolución
Científica del siglo 17.
"En las matemáticas griegas, sea cual sea
su originalidad y reputación, la
simbolización … no avanzó más
allá de un primer estadio, es decir, más
allá del proceso de idealización, el
cuál es un proceso de abstracción a partir
de la experiencia directa…. Sin embargo, … la
simbolización en escala completa es mucho
más que simple idealización. Incluye, en
particular, una escalada ininterrrumpida de
abstracciones, es decir, abstracción de
abstracciones, abstracción de abstracción
de abstracciones, y así sucesivamente; y muy
importantemente, los objetos abstractos generales
surgiendo así, si se ven como casos especiales de
símbolos, deben estar disponibles para el
ejercicio de ciertas manipulaciones y operaciones
productivas, si es que van a ser matemáticamente
significativas…. A primera vista, las
matemáticas modernas, es decir, las
matemáticas de después del siglo 16,
comenzaron a hacer abstracciones de lo posible solamente
en el siglo 19; pero en realidad hicieron esto desde sus
comienzos." (Bochner 1966, 18, 57).
El surgimiento de las computadoras ha reforzado esta
tendencia. Dijkstra, por ejemplo, escribe:
"En comparación con la profundidad de la
jerarquía de conceptos que se manipulan en la
programación, las matemáticas tradicionales
parecen casi un juego plano, a lo sumo jugado en unos
pocos niveles semánticos, que más
aún, son completamente familiares. La gran
profundidad de la jerarquía conceptual&emdash;en
sí misma una consecuencia directa del poder sin
precedentes del equipo&emdash;es una de las razones por
las cuales considero al surgimiento de las computadoras
como una discontinuidad pronunciada en nuestra historia
intelectual." (E.W. Dijkstra, On a Cultural Gap, The
Math. Intelligencer Vol. 8, No. 1, 1986).
La actitud realista, o mejor complementarista, tiene
sentido desde un punto de vista dinámico. Por
"realista" no quiero decir platónica en el sentido de
Gödel, porque considero que las aplicaciones de una
idea le pertenecen esencialmente, pero aprecio el
anti-constructivismo y el anti-nominalismo de Gödel.
Una idea, creo yo, es a la vez un ente por derecho propio y
una función mental o herramienta intelectual. Esto es
lo que quiero ejemplificar en lo que sigue.
Según creo, la actividad cognitiva
puede describirse como un sistema de objetos y medios y la
dialéctica de medios y objetos puede enunciarse
sumariamente como sigue:
- Como en cualquier otra actividad cognitiva, los
objetos y los medios de la cognición
también están conectados en la actividad
matemática. Las matemáticas no pueden
desarrollarse exclusivamente dentro de una
orientación hacia los métodos universales o
formales. En última instancia, esto
implicaría que la actividad matemática
misma estaría sujeta a la mecanización y la
formalización. Las matemáticas
también forman conceptos específicos que
nos ayudan a entender los hechos matemáticos.
- Los objetos y los medios no están solamente
conectados sino que también se enfrentan los unos
a los otros. Los objetos o los problemas son resistentes
a la cognición: No producen por sí mismos
los medios para su solución. Las
matemáticas modernas aun obtienen su
dinámica propia en gran medida de la
aplicación de teoremas y métodos que a
primera vista no tienen nada que ver con los problemas
bajo consideración.
En esto, entendemos por "objeto" cualquier problema y por
"medio" cualquier cosa que parezca apropiada para establecer
una mediación entre el sujeto y el objeto de la
cognición, cualquier idea que pueda ayudar a resolver
el problema y cualquier representación de aquella
idea. Ahora bien, dos ideas diferentes pueden ser decisivas
en la resolución de un problema particular y de ese
modo pueden parecer equivalentes a tal efecto. Otro problema
puede poner de relieve la diferencia entre esas ideas y
puede a su vez ser entendido mediante esa diferencia. Las
ideas fundamentales y los conceptos teóricos son
auto-referentes, es decir ellos mismos, por lo menos en
parte, organizan los procesos según los cuales ellos
se manifiestan y articulan. Esas ideas son lo que el
desarrollo de una teoría completa debe
desentrañar y explicar. En matemáticas
entender una idea o un concepto significa aplicarlo y
desarrollar una teoría. Estas ideas son, sin embargo,
a la vez el inicio y la base del desarrollo. Esto quiere
decir que esas ideas deben ser intuitivamente
impresionantes, deben motivar y guiar la actividad a la vez
que orientar la representación.
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Dos
ejemplos:
Una cuerda alrededor del
globo terrestre...
Un círculo
pequeño que rueda, sin deslizarse...
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¿Reacciones?,
¿Observaciones?
a la contribución de Michael Otte seran
publicadas en la carta de Mayo/Junio 1999.
©
M. Otte 1999
Tradución
Patricio Herbst
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