La lettre de la Preuve

ISSN 1292-8763

La percepción y la prueba - Parte IV

En una primera aproximación, parace como si todo el conocimiento matemático disponible perteneciera a alguna de las dos categorías siguientes:

1. Conocimiento de que ciertas afirmaciones matemáticas se deducen de otras afirmaciones matemáticas o de conjuntos de afirmaciones.
2. Conocimiento de la consistencia de ciertas afirmaciones matemáticas o de conjuntos de afirmaciones.

Esta perspectiva conduce a la impresión de que el conocimiento matemático es simplemente conocimiento lógico. Hoy en día, sin embargo, nuestras investigaciones en lógica se fundamentan en la matemática y por ello la lógica aparece como una parte de la matemática. Finalmente, pareciera ser como si la matemática fuera una disciplina que se supone debe justificarse a sí misma.
  Tal "naturalismo" no es usual. Lo central de esa circularidad parece resultar de lo siguiente. Desde Euclides y hasta el siglo XIX, lo normal había sido usar la axiomática como un instrumento para comprender la complejidad de un cierto dominio de aplicaciones posibles (pensemos por ejemplo en la axiomatización de la geometría de Euclides o en la axiomatización de la mecánica de Newton). Desde Hamilton y Boole, y en particular desde Hilbert y Gödel, la axiomática se comenzó a usar como un instrumento para comprender las complejidades de la matemática misma. Se ha vuelto un medio de matematización o de modelado de las teorías matemáticas mismas!
  El hombre de la calle comúnmente aprende que las cuestiones esenciales absolutas ("qué es …?") no tienen sentido dentro de un tratamiento científico de fenómenos objetivos. En lugar de ello, aprende que los humanos debemos contentarnos con representaciones estructurales de la naturaleza dadas en lenguaje matemático. Pero en el caso del conocimiento matemático, ese punto de vista relacional se ve constantemente desafiado por otra posición opuesta, la cual trata de dar definiciones explicitas de cada término matemático. De esta manera se intenta justificar el lenguaje matemático abstracto mediante otro lenguaje menos abstracto.
  Un ejemplo típico de esa actitud se puede ver en la Introducción a la Filosofía Matemática de Bertrand Russell (Russell, 1919/1998). Russell enfatiza los conceptos de "relación" y "estructura relacional" con mucho cuidado, pues esto lo conduce a ejemplificar el principio general de "que lo que importa en matemáticas, y en gran medida en las ciencias físicas, no es la naturaleza intrínseca de nuestros términos, sino la estructura lógica de sus interrelaciones". Russell agrega que "sabemos mucho más de la forma de la naturaleza que de su contenido". Sin embargo, Russell se toma mucho trabajo en explicar lo que significa el término "número".
  De acuerdo con el principio citado, lo que deberíamos preguntar no es "qué son" los números sino solamente cuáles son las formas usadas para describir las relaciones entre ellos. Esto es, por cierto, el núcleo del pragmatismo que subtiende las aproximaciones axiomáticas a la aritmética de Peano y Hilbert. De acuerdo con esa aproximación, los conceptos matemáticos deben definirse a través de las posibilidades operativas abiertas por las formas usadas para representar esos conceptos, es decir, a través de las diferencias en comportamiento hechas posibles o disparadas por ellas. Esto puede hacerse sin necesidad de referencia a una ontología aritmética absoluta.
  Sin embargo, como se dijo, una teoría axiomatizada no se toma como un juego simbólico abstracto con signos sin sentido. Por el contrario, tal teoría se desarrolla en conexión con ciertos conjuntos de aplicaciones posibles o interpretaciones deseadas. Dentro del desarrollo histórico de la teoría abstracta de grupos, para ejemplificar una teoría que desde el principio se presenta en términos axiomáticos, las representaciones de grupos de varios tipos (como transformaciones lineales o como permutaciones, por ejemplo) han tenido un papel esencial.
  No obstante, tratar de garantizar que una teoría axiomatizada a priori sea aplicable mediante proveer una interpretación final de sus términos primitivos es completamente incorrecto. La cuestión de "qué son" los números, en particular, en el sentido de buscar como primera medida objectos con los cuales los números puedan identificarse, está mal planteada. La cuestión no es qué son los números, sino con qué propósito se construyen los números, y qué función cumplen dentro del proceso de cognición. Los números no existen fuera de la teoría de la aritmética (como los puntos y las rectas no existen fuera de la teoría axiomática de la geometría; he allí la diferencia entre las concepciones de Euclides y de Hilbert de una teoría axiomática). De modo que presenta problemas el intentar hacer lo que hace Russell: obtener primero ciertos objetos arbitrarios, digamos dentro de la teoría de conjuntos, para luego hacerlos pasar por números. Russell afirma que la caracterización axiomática de la aritmética de Peano es insuficiente si "queremos que nuestros números no solamente satisfagan formulas matemáticas sino que además apliquen de la manera correcta a los objetos comunes". A esto uno podría responder mediante apuntar antes que nada, que las teorías se aplican como todos estructurados y no parte por parte . En segundo lugar, uno podría responder que es imposible especificar de antemano todas las aplicaciones posibles de una teoría. En efecto, las aplicaciones suelen descubrirse con el tiempo y al mismo tiempo que la teoría se desarrolla en abstracto. Como dijo Lebesgue: la aritmética aplica cuando se aplica.
  Finalmente, debe decirse que el proyecto de Russell no puede llevarse a cabo. En efecto, los números ni son objetos ni son simplemente propiedades de los objetos. Que los números no pueden ser objetos concretos u objetos de la teoría de conjuntos lo ha mostrado Paul Benacerraf mediante proveer diferentes interpretaciones conjuntistas del concepto de número. El argumento de Benacerraf es básicamente muy simple: "Se ha notado que cualquier sistema de objetos, sean estos conjuntos o no, que forme una progresión recursiva es adecuado. Pero esto es extraño, pues cualquier conjunto recursivo puede ordernarse de tal suerte que forme una progresión recursiva. De modo que lo que importa, en realidad, no es la condición de los objetos (es decir, de los miembros del conjunto) sino la condición de la relación según la cual ellos forman una progresión. Para decirlo de otra manera--y este es el nudo del asunto--el hecho de que cualquier sucesión recursiva sirva sugiere que lo que es importante no es la individualidad de cada elemento sino la estructura que todos ellos exhiben juntos" (P. Benacerraf, 1965, "What numbers could not be", p. 290, en Benacerraf & Putnam (Eds.), Philosophy of Mathematics).
  Los números no son conjuntos, pero pueden identificarse en una multitud de formas con los conjuntos. Esto no presenta ningún problema, pues lo que es importante no es la individualidad de cada elemento sino la estructura aritmética. Dicho sea de paso, no es tampoco el caso que los números puedan identificarse con cualquier concepto, pues esto implicaría que, estableciendo la identidad de esos conceptos de la manera usual--mediante el axioma de extensionalidad--solamente sería posible una única reducción conjuntista de los números. Al descubrir las paradojas de la teoría de conjuntos, Russell no solamente se propuso reducir la teoría de números a la teoría de conjuntos sino quiso también interpretar esta última en términos conceptuales, en términos de funciones proposicionales. Retomo esto más abajo.
  La filosofía estructuralista de la ciencia (Quine, Sneed, Moulines) acepta en general que la identidad de un concepto o de una teoría completa depende entre otras cosas de ciertos criterios pragmáticos mediante los cuales se identifican las aplicaciones posibles de la teoría y los valores de las variables ligadas. Pero la matemática, al ser justificada por la práctica matemática, cesa de ser paradójica tan pronto como se la entiende como una práctica teórica sobre un sistema de signos. Esto es relacional en un doble sentido: los objetos de los cuales se compone un sistema de signos S se definen solamente en relación al sistema como totalidad. Relaciones de referencia entre S y otro sistema de entes S' (en términos de otros sistemas de signos o de objetos sensibles) no se invocan para explicar S en función de S' en forma absoluta . Lo que se hace sin embargo es invocar esas relaciones de referencia como relaciones funcionales, casi en el sentido matemático del término. Pero esas relaciones no son, como fuera antes el caso, inherentes a los objetos individuales del sistema o a los sistemas mismos sino que dependen de la intervención del agente humano. Sin morfismos no hay teoría de grupos, y sin funciones monótonas no hay aritmética.
  El pragmatismo comprende la realidad como un proceso y no como algo estático y final. Por lo tanto, el pragmatismo busca procesos epistémicos fundamentales, basando nuestra cognición esencialmente en dos mecanismos irreducibles: el desarrollo del lenguaje (Quine) y la percepción (Peirce). Si bien podemos hablar de ciertas cosas como "sociedad" o "Francia", somos incapaces de percibirlas. Otras cosas, más cercanas a nuestra existencia corporal sí las percibimos. Como dijo Gödel una vez: "percibimos objetos y comprendemos conceptos". Y él consideraba, contrariamente a Russell, que los conjuntos eran objetos cuasi-espaciales, no conceptos. Comentando sobre los argumentos de Russell contra aquella visión extensionalista de las matemáticas, Gödel dijo que "estos argumentos podrían como máximo, si acaso pudieran hacer algo, probar que la clase nula y las clases unitarias (en tanto distintas de su único elemento) son ficticias (cosas introducidas para simplificar el cálculo como los puntos en el infinito en geometría), pero no que todas las clases son ficticias" (K. Gödel, 1971, "Russell's mathematical logic" en Schillp (Ed.), The philosophy of Bertrand Russell, p. 141). Ya Leibniz había apuntado aquello bastante claramente hablando del estatuto ontológico de los infinitesimales del análisis no-standard: éstos pueden ser ficciones establecidas mediante un proceso infinito, pero las relaciones que llevan a ellos son reales y perceptibles. El software Cabri Geomètre ofrece una multitud de oportunidades para observar hechos relacionales, usando algo similar al principio de continuidad de Leibniz.
  Todos los objetos matemáticos surgen de contextos perceptuales como esos. Lo que percibimos son estructuras relacionales de signos. La noción de percepción debe entenderse en el sentido de la semiótica o de la teoría de modelos, donde la representación se da lugar posiblemente en analogía con los medios de nuestros propios movimientos corporales.
  La diferencia entre esas dos fuentes de la cognición ha sido aclarada mediante la teoría de la descripción de Russell. Russell distingue entre la familiaridad con una cosa y el conocimiento acerca de ella. Es lo segundo lo que se afirma mediante una frase denotativa; la primera viene mediante la indicación de la cosa. Así, la familiaridad viene de la percepción, el conocimiento a través del pensamiento conceptual. La distinción kantiana entre conocimiento analítico y sintético reaparece en este momento. En el conocimiento sintético, un objeto es dado directamente; en el conocimiento analítico este objeto es presentado indirectamente, mediante propiedades o relaciones. Una mirada rápida a la historia de la axiomática sugiere que el cambio de Euclides a Hilbert representó un cambio de una comprensión sintética a una comprensión analítica de las matemáticas, de un paradigma de evidencia a un paradigma de consistencia. Esto es de cierta manera correcto, pero solo nos cuenta la mitad de la historia. Para poder deshacerse de una vez y para siempre del paradigma de la evidencia en matemáticas, Hilbert se vio llevado algunas veces a decir que la existencia y consistencia eran una misma cosa. Pero por otra parte como apuntó el mismo Hilbert, las pruebas finitistas de consistencia eran un intento de justificar lo posible a través de lo real y por lo tanto dependían de manipulaciones de signos concretas y reales. De modo que, las pruebas de consistencia todavía dependen de la existencia, dependen de indicadores , es decir, dependen en definitiva del conocimiento debido a la familiaridad.
  El conocimiento debido a la familiaridad es importante en matemáticas puesto que la matemática es una actividad y todos sus objetos son o bien construidos o bien se comprenden en relación a un sistema de medios de construcción matemática. Uno podría objetar que lo que está en juego en las matemáticas puras y con respecto a sus procedimientos de prueba es identidad y no existencia. Ahora bien, con respecto a las afirmaciones del primer tipo, la identidad se asume de entrada, pero con respecto a las afirmaciones del segundo tipo la identidad debe establecerse. La identidad de funciones (o de funciones proposicionales en particular tanto como de conceptos) se establece comunmente mediante el axioma de extensionalidad: F = G si F(x) = G(x) para todo x. Pero no decir nada sobre la naturaleza del universo de discurso al cual pertencen las variables cuantificadas no tiene sentido. Desde un punto de vista lógico existen de entrada restricciones de tipo teórico operando en las variables involucradas. Pero aún dejando de lado consideraciones lógicas, todavía es cierto que nuestras teorías matemáticas no se refieren a un mundo dado y estructurado de antemano. Por lo tanto, afirmaciones de identidad tienen sentido solamente en relación con ciertas prácticas y en contextos en los cuales existen condiciones de individuación: por ejemplo las condiciones dadas en un salón de clases mediante el pizarrón o la pantalla de la computadora. La parte segunda de esta serie de artículos (Otte, 1998) da una buena ilustración de lo que aquello significa.
  Uno pudiera afirmar, como supo hacerlo Russell, que la matemática es necesariamente intensional, siendo solamente una parte del lenguaje y de la lógica conceptual, y que la actividad matemática consiste en operar con conceptos o predicados. Dejando de lado todos los problemas lógicos (despues de todo solamente tenemos una cantidad numerable de expresiones lingüísticas), creemos que adoptar una cierta teoría del lenguaje implica no solamente ciertos modos de expresión, sino tambien una concepción del mundo, o una ontología. Los objetos a los cuales nuestras variables involucradas se refieren no están, por lo tanto, dados. Toda entrada al mundo está sesgada teóricamente y toda teoría se caracteriza por un sistema propio de recortar y organizar el mundo y por el tipo de significados ascriptos a los objetos. Por otra parte una teoría en general no determina por completo su ontología, como lo muestra el ejemplo de los diferentes conceptos de número. Finalmente, sabemos con certeza que el ser humano es capaz de aislar objetos del mundo real antes de manejar con destreza el lenguaje o la teoría, el ser humano hace eso mediante una combinación de percepción y actividad. De modo que la cuestión que surge es cómo llegan a trabajar juntas la percepción o la intuición por un lado, y el lenguaje y la comunicación por el otro. Por cierto, no podemos tratar este problema exhaustivamente aquí. Baste decir que la teoría matemática siempre debe utilizar la percepción. Lo que percibimos es, por un lado, cosas particulares, puntos en la pantalla de la computadora o en el pizarrón. Nos aseguramos de la identidad de ellos por ostensión, representándolos mediante índices. Todas las letras que usamos en geometría y en álgebra son índices para cosas singulares. Este tipo de percepción tiene un papel importante en la transición de un punto de vista intensional a un punto de vista extensional.
  Incluso si creyéramos que la consistencia fuera suficiente para la existencia, tendríamos que garantizar relaciones de referencia que no fueran ambiguas. Sin embargo, Kant, creyendo que las cosas tienen propiedades esenciales, afirma que un tipo diferente de percepción es necesaria además y concluye de ello que para atacar cuestiones de consistencia hacen falta afirmaciones existenciales de un tipo más elaborado. El argumento de Kant es que una contradicción surge esencialmente de imaginar un objeto y hacer varias hipótesis sobre el objeto postulado, hipótesis que son inconsistentes con la naturaleza de tal objeto. Pero una contradicción jamás podría surgir si rechazáramos al objeto. Y como el pensamiento conceptual y la lógica no pueden afirmar categóricamente la existencia de nada, la existencia finalmente depende de la intuición y la percepción. Pero habiendo establecido la posibilidad de algo mediante la intuición no podemos sencillamente ni rechazarlo ni postularlo. Nuestras intuiciones no obedecen necesariamente a postulaciones conceptuales. Kant da el siguiente ejemplo: Postular un triángulo y luego decir que no tiene tres ángulos es una contradicción pero "la proposición mencionada más arriba no enuncia que tres ángulos necesariamente existan, sino que dada la condición de que un triangulo exista, tres ángulos deben necesariamente existir en él" (Kant, B 622). No habría ninguna contradicción si no hubiera triángulo, no habría nada allí sobre lo que hubieramos hecho hipótesis contradictorias. Los triángulos, no obstante, tienen una existencia posible en nuestra intuición y las pruebas de consistencia proveen por lo tanto conocimiento real. Kant quiere como primera medida que las matemáticas sean aplicables al mundo real y por lo tanto enfatiza la importancia de una intuición que vaya más allá de la mera ostensión.
  "Es común en los estudios modernos sobre Kant decir que él ya sabía de las geometrías no euclideanas y que de hecho la posibilidad de aquellas refuerza la doctrina de Kant de que la geometría euclideana es sintética y a priori pues sus conceptos son solamente constructibles mediante la intuición" (J. Webb, 1995, Tracking contradictions in geometry, en J. Hintikka (Ed.), Essays on the development of the foundations of mathematics). El argumento de las matemáticas puras post-Kantianas sugiere una asimetría, una asimetría tal como aparece en el análisis que hace Frege de A = B en términos de significado y referencia (véase mi artículo anterior, La percepción y la prueba, parte II). Según Frege, como la referencia es un objeto, ella está definida con suficiente precisión; pero el significado no está definido con igual precisión. Todo lo que se provee en realidad es un criterio para decidir cuando los significados de dos afirmaciones son iguales o diferentes. La falta de simetría se debe a la diferencia entre existencia e identidad, o bien entre objeto y concepto. Los conceptos o las ideas pueden tener una identidad, pero no existen de la misma manera que los objetos pariculares existen. Según Kant, sin embargo, ellos tienen una existencia posible en la intiuición.
  Considerando mi observación anterior sobre la aplicación del axioma de extensionalidad, podríamos comenzar por afirmar, como Kant, que nuestro mundo está siempre estructurado conceptualmente. En su reciente Mind and World, J. Mc Dowell (1994) ha afirmado que para resolver los problemas de las teorías analíticas modernas de la verdad, debemos, como Kant, reconocer que los conceptos y las intuiciones, la comprensión y la sensibilidad, deben integrarse aún en la mera absorción del contenido experiencial característico de la percepción sensorial. Aún cuando emitimos juicios perceptuales tenemos que emplear ideas conceptuales. Por lo tanto nos damos cuenta que la distinción entre ideas y objetos es solamente relativa, y que todo aquello con lo que trabajamos en nuestra actividad cognitiva o en nuestra percepción son signos en lugar de objetos. De esta manera la diferencia entre los dos tipos de conocimiento está presente ya en nuestras percepciones. Y está representada allí por dos tipos diferentes de signos: índices e íconos.
  Una imágen de un unicornio es un ícono que no contiene ninguna afirmación de existencia, pero que da solamente una imágen, o si se quiere, una descripción de aquella bestia. Lo mismo es cierto de un triángulo en general o de un sistema axiomático, etc. Pero, si en el transcurso de una prueba geométrica digo que "el triángulo A" es congruente al "triángulo B", deberé indicar esos triángulos diferentes y mi representación tendrá un caracter diferente. Como se ha dicho antes, un ícono se suele requerir a los efectos de resolver una confusión. Un índice, sin embargo, no nos dice nada acerca del objeto indicado. Kant estaba convencido de que todos los juicios matemáticos son intuitivos. El distinguía no obstante, entre intuición pura e intuición empírica. En la intuición empírica, solo los particulares se nos dan. Es el tipo de intuición del que hemos venido hablando. Tiene mucho sentido en el contexto de Cabri-Geomètre pues nos lleva a nuevas hipótesis mediante la percepción de puntos fijos y otros invariantes. Sin embargo, no se obtienen demostraciones matemáticas de esta manera.
  Una demostración está ligada a una comprensión de la totalidad y por lo tanto a una generalización. Este es el sitio donde un nuevo tipo de intuición se da lugar--se trata de la percepción de las ideas o de los conceptos generales. En la parte II de La percepción y la prueba, por ejemplo, el concepto de centro de gravedad nos condujo a una demostración que proporciona una solución al problema estudiado para todo polígono. El hecho de que el punto medio M se mantuviera fijo debió comprenderse como una indicación de la invarianza del centro de gravedad de toda la constelación. El centro de gravedad no es una cosa empírica, pero es inmediatamente accesible a nuestra experiencia, y por lo tanto a nuestra intuición.
  La idea de número, a la que Russell estaba tan determinado en ver fijada, también se vuelve perceptible a través de sus efectos en el sistema de nuestras actividades. Podemos percibir realmente los efectos que tienen nuestras maneras de usar el concepto de número. Y el álgebra no es sino un medio de representar aquéllos. Si bien no podemos proveer una definición del término número que no sea circular, ciertamente somos capaces de reconocer un número cuando lo vemos.
  Como se ha dicho, tales intuiciones de las ideas son necesarias para obtener el conocimiento matemático del primer tipo en la clasificación que dimos al principio. Observar un simple hecho no conduce sencillamente a una prueba. Una prueba requiere una idea interpretativa, y esto requiere una representación generalizada. Tal idea no existe en realidad más allá de su función tendiente a ordenar y clarificar una situación confusa comparable, digamos, a la que se enfrenta la persona mostrada en la figura de la parte primera de La percepción y la prueba. Nicolas Balacheff me envió aquella imágen junto con la invitación a escribir algo sobre la percepción y la prueba. En este momento me parece que puedo considerar mi tarea cumplida. Esta cuarta parte de "La percepción y la prueba" es por lo tanto la última.

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