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El objetivo del tema de la carta es estimular el intercambio alrededor de ciertas preguntas que estan planteado actualmente acerca del aprendizaje y la enseñaza de la demostración matemática. He invitado a Michael Otte para que haga una contribuciòn relacionada con el tema de visualizaciòn iniciado en May/June Newsletter 1997.
El lenguaje penetra, se difunde y está firmemente establecido en nustra cultura humanística y filosófica. El lenguaje controla el razonamiento y el pensamiento, y aun las emociones. Y la separación entre el saber y el habla o el lenguaje es una tarea extraordinariamente difícil, con la cual cada sociedad educada debe lidiar durante un tiempo prolongado solamente para obtener resultados bastante inciertos en general. Tanto en matemática como en filosofía de la matemática, la preponderancia del lenguaje ha infludo extensamente hasta ahora. Aún el intuicionismo en general ha abandonado el a priori de la intuición del espacio de Kant y adopta aun más resueltamente el a priori del tiempo como un sentido interior (véase por ejemplo el discurso inaugural de Brouwer en 1912). O bien, para dar un ejemplo perteneciente a la filosofía de la ciencia y la matemática, la distinción entre análisis y síntesis ha sido desatendida en gran parte por el hecho de que los problemas de sinonimia y de indeterminación en la traducción se han considerado más fundamentales que el problema de la perspectiva y la carga teórica en la observación empírica. En contraste con aquello, desde la antigüedad griega la matemática ha sido una ciencia del ojo y de la forma, un arte visual. Sin embargo, ya desde el renacimiento las opiniones empezaron a mezclarse. Por un lado, el Gran Libro de la Naturaleza está escrito, como enfatizó Galilei, en el lenguaje de la matemática, en triángulos y otras figuras geométricas. Por otro lado, era creencia extendida que si uno quería "escribir para gente interesada pero no cultivada y hacer accesible esta materia al pueblo y fácil de entender por cualquiera que la estudie de tal libro," uno debería "usar la terminología y el estilode cálculo de la aritmética, tal como yo hice en mi Geometría," escribe Descartes a Desargues en 1639. No obstante Descartes efectivamente creía que la verdad en matemática se constituye a partir de la intuición o la percepción. Pero fue Kant, por sobre todos los demás, quien enfatizó que en matemática "los juicios son siempre visuales, es decir, intuitivos" y quien combinó esta posición con una epistemología constructiva. El problema fundamental de la epistemología de la matemática es, por lo tanto, el de cómo interactúan la actividad (conceptualización, construcción, y deducción) y la percepción. Consideremos algunos ejemplos: En un artículo anterior (Otte, 1994, pp.
252ff) he mostrado que la función de la
lógica y de los conceptos matemáticos
y de las ciencias naturales, consiste en
transformar una opacidad dinámica y un
movimiento caótico de los procesos y
actividades temporales ya sea en imágenes
examinables o sino en una forma. Mathematics - a
Human Endeavor de H. R. Jacobs proporciona un
ejemplo muy simple pero pertinente: La idea de buscar un objeto, entidad en el cual anclar el concepto teórico nos viene de Parménides (circa 500 a. JC). A la idea de Parménides, la modernidad le ha añadido el elemento de construcción o actividad, que es el factor que permite al elemento perceptual de la matemática y las ciencias naturales producir su efecto completo, porque lo que percibimos no es el mundo en sí mismo sino nuestras propias construcciones. En lugar de mirar afuera hacia la naturaleza, solamente recibiéndola, realizamos experimentos. En lugar de meramente analizar las premisas de un teorema matemático a ser demostrado, el matemático construye un diagrama y un concepto que lo ayudan en la tarea.
Esta definición, sin embargo, vuelve a aparecer en la determinación de la lógica formal y se sintetiza en la llamada proposición de inmediatez para los sistemas formales. Solo el texto, el signo, lo formal pueden en última instancia darse en estado puro y por consiguiente no demandan problemas posteriores de sentido y justificación. Sobre esta base Hilbert llamó a la lógica formal una lógica material. "El problema de la lógica es un problema muy directo: ¿Cómo puede una proposición decir algo acerca de sí misma?" El principio de este problema es la suposición de que toda proposición immediatamente se implica a sí misma. Si yo digo "p es verdadera" esto quiere decir "p" es verdadera. No se le añade nada a la proposición "p" mediante las palabras "es verdadera." La diferencia entre intuición y lógica debe entonces buscarse en otras circunstancias. Pero, ¿cuál es la diferencia resultante? ¿Dónde la encontramos? Luego de una consideración cuidadosa parecería que lo intuitivo no es otra cosa que una lógica comprimida y no resuelta. Por lo tanto la diferencia es cuestión de tiempo, y por consiguiente tiene que ver con el caracter finito o infinito del sujeto cognitivo. Esta era exactamente la posición de Descartes. En sus Reglas para la Dirección de la Mente , Descartes escribe:
Para poder percibir o intuir algo, entonces, debemos antes que nada dedicarnos a su análisis y su síntesis constructiva, para obtener algo que podamos percibir claramente. © Michael Otte 1998 Traduciòn Patricio Herbs |
