Algunas cuestiones
relativas a la argumentación
Raymond Duval
IUFM de Lille
La iniciación de los estudiantes del ciclo
básico de la escuela secundaria a la prueba en
matemáticas ha tenido por costumbre privilegiar el
uso de la demostración formal -- con todas las
restricciones de rigor que ella impone. Sin embargo desde
hace una década se ha aumentado la atención a
la argumentación como medio para convencer, sea a uno
mismo o a los otros. La convicción es sin duda una
condición necesaria para que una prueba funcione como
tal. El propósito de esta nota no es de buscar las
razones que explican este desplazamiento de interés.
Algunas razones son evidentes: la necesidad de poner el
acento sobre el trabajo de investigación para el cual
la demostración aparece como su resultado, y el
caracter incomprensible de las exigencias y ventajas de la
demostración para un gran número de alumnos.
En esta perspectiva, abordaremos sucesivamente la emergencia
de una problemática de la argumentación,
considerando que ambas nociones son fundamentales para poder
analizar los procesos de argumentación e indicaremos
algunas vías de entrada para estudiar el lugar de la
argumentación en el aprendizaje de las
matemáticas.
I. La emergencia de una
problemática de la argumentación
El interés por la argumentación ha
aparecido como un interés por las formas de
razonamiento que escapan a las normas y los esquemas
lógicos y que surgen espontáneamente tan
pronto como hay un debate con alguien. Esta emergencia se
puede ver tanto fuera de las matemáticas como en la
enseñanza de las matemáticas.
¿Cuáles son sus características
principales?
1. Fuera de las matemáticas
Por empezar ha habido un redescubrimiento del
carácter irreducible e irremplazable de las lenguas
naturales en relación a las lenguas formales, en lo
que concierne a facilitar de manera económica la
comunicación entre individuos. Esto comenzó
con Wittgenstein quien, a partir de 1930, empezó a
reaccionar contra toda la filosofía surgida de los
Principia Mathematica de Russel y Whitehead (1910). Todo un
enfoque pragmático del discurso en las lenguas
naturales ha resultado como consecuencia de aquello (Searle,
1969; Ducrot, 1972). Ha habido luego interés por dar
cuenta de todas las situaciones donde no se trata solamente
de comunicar sino tambien de convencer y justificar. En esta
área, las obras de Perelman (1958) y de Toulmin
(1958) han señalado un punto de partida. Esto ha
conducido, entre otras cosas, a estudiar las formas de
contradicción (Grize 1983) que se ponen en juego en
los debates, y a subrayar el caracter dialógico de
los razonamientos que pretenden convencer (Grize 1996).
2. En la enseñanza de las
matemáticas
El modelo de Piaget del desarrollo del razonamiento en el
niño y el adolescente (1957) ha sido desde hace mucho
tiempo la referencia obligada para analizar los problemas
del aprendizaje de las matemáticas en el ciclo
básico de la escuela secundaria. Por lo menos hasta
la mitad de la década de los setenta. Aquel modelo
daba un lugar esencial a la implicación (el "si
entonces
") y relativizaba el rol del lenguaje en el
desarrollo del razonamiento proposicional (las "operaciones
formales"). Pero rápidamente tal modelo se
reveló inadaptado por cuanto no permitía
analizar las dificultades encontradas por los alumnos cuando
se trataba de hacer una demostración y no
permitía tomar en cuenta las condiciones del trabajo
en grupos&emdash;en un momento en el que el uso de
actividades de investigación como método de
enseñanza de las matemáticas (Glaeser, 1973)
devenía posible y que las interacciones entre los
estudiantes podían tomarse en cuenta como factores de
aprendizaje. El trabajo de Nicolas Balacheff sobre la prueba
y la demostración en el ciclo básico de la
escuela secundaria (1982) fue el primero en tomar en cuenta
esta nueva situación. Dicho trabajo propuso una
aproximación más completa a la
iniciación a la prueba, partiendo de las actividades
de investigación de un problema. Es dentro de esta
nueva perspectiva que se comenzó a desarrollar un
interés en las formas de argumentación que
aparecen en el marco de una resolución de problemas.
Y aquello condujo a preguntarse si no serían las
fromas de argumentación el camino para descubrir la
demostración.
De esta breve memoria propongo retener el
hecho de que la problemática de la
argumentación se situa en el punto de convergencia de
un doble reconocimiento. El reconocimiento del papel
importante de la comunicación y de las interacciones
sociales en la adquisición de conocimientos&emdash;lo
que conduce ipso facto a reconocer la importancia de la
lengua natural. Y el reconocimiento del vínculo
estrecho entre la prueba y la convicción, lo que
conduce igualmente a privilegiar la comunicación para
favorecer la confrontación de puntos de vista.
II. Dos nociones esenciales para
analizar los procesos argumentativos: argumento y
discursividad
1. Una primera noción es la
de argumento.
El título de la obra de Toulmin da una
caracterización excelente de la argumentación:
The Uses of Argument.
La noción de argumento parece evidente. Ella
merece sin embargo que uno se detenga un poco. Se considera
como argumento todo aquello que se ofrece, o todo lo que es
utilizado, para justificar o para refutar una
proposición. Aquello puede ser el enunciado de un
hecho, un resultado de la experiencia, a veces simplemente
un ejemplo, una definición, el recuerdo de una regla,
una creencia comunmente compartida, o incluso la
explicitación de una contradicción. Todas
ellas toman valor de justificación cuando alguien las
utiliza para decir "por qué" él acepta o
rechaza una proposición. Un argumento es la respuesta
a la pregunta "por qué enuncia o cree tal cosa
usted?"
Como se ve, la noción de argumento
es una noción puramente funcional. Pero
contrariamente a lo que pensaba Toulmin (1958, p. 99-105)
quien había asimilado el argumento al modelo de modus
ponens (o paso de deducción)
añadiéndole ciertos "calificativos" y
posibilidades de restricción, esta noción de
argumento es estructuralmente indeterminada y, tal vez,
incluso a priori indeterminable. Esto es así pues
aquello que puede tomar valor y fuerza de argumento no
depende solamente del dominio de conocimientos
(matemáticas, derecho, historia,
política
) sino tambien del contexto particular
que motiva el recurso a los argumentos. Por ejemplo, a
propósito de la busqueda de la solución de un
problema, una simple pregunta puede tener valor o fuerza de
argumento que impela a tomar distancia de una idea dada.
Este es un punto importante. Para convencerse basta
preguntarse si acaso un teorema puede ser considerado un
argumento. La respuesta es menos evidente de lo que uno
podría creer. Si bien la utilización de
teoremas es central tanto en la resolución de
problemas como en las pruebas, su utilización no es
la de argumento sino la de herramienta. Uno no puede
presentar un teorema como argumento a menos que uno quiera
justificar una proposición como conclusión
necesaria a partir de ciertas hipótesis. Y la
experiencia muestra que, para la mayoría de los
alumnos, esta utilización de teoremas suscita
dificultades serias. En efecto, un teorema está
estructuralmente muy determinado tan pronto como no hay sino
un sentido funcional reducido a la sola organización
de deducciones válidas o al desarrollo de
calculos.
La noción de argumento es una
noción más global que la de teorema e implica
que uno toma en cuenta dos dimensiones. Hablar de argumento
es de entrada referirse a la elección de un tema
donde uno busca obtener un fin determinado. Es ademas
referirse al contexto de producción del argumento. Un
contexto de producción se determina en función
de dos puntos. Por una parte está aquello que motiva
el recurso a los argumentos: sopesar el sentido de una
decisión a tomar, resolver un conflicto de intereses,
resolver un problema que presenta restricciones
técnicas o lógicas. Por otra parte está
lo que está en juego: convencer a otro o sino
disminuir los riesgos de error o de incertidumbre en la
elección de una dirección de trabajo. Fuera de
su contexto de producción, un argumento suele perder
su "fuerza." Y en todo caso, la fuerza de un argumento es
variable. Además, uno puede tener necesidad de
recurrir a muchos argumentos para obtener la
convicción.
En matemáticas, o en las ciencias,
el contexto de producción es radicalmente diferente
de otros contextos de la actividad social donde se producen
argumentos. En matemáticas, el motivo y lo que
está en juego en la argumentación son las
restricciones propias del problema a resolver.
Paradojalmente se podría decir que estas
restricciones constituyen un invariante en la
comunicación&emdash;pues son las restricciones del
problema las que determinan la elección de los
argumentos y no las creencias del destinatario. La fuerza de
un argumento va a depender principalmente de su
adaptación a la situación y no tanto a su
resonancia en el universo del interlocutor: se trata de
asegurar que la solución "funciona" o que puede
"funcionar." Diremos en ese caso que se trata de una
argumentación heurística. Pero cuando se trata
de convencer a alguien para que tome una decisión,
para que se resuelva un conflicto de intereses, o para
obtener consenso en relación a un asunto, hay una
especie de inversión de prioridades: Se toma en
cuenta principalmente las convicciones del interlocutor.
Diremos en ese caso que se trata de una argumentación
retórica.
2. La segunda noción
fundamental es la de discursividad.
De hecho, una argumentación no puede reducirse al
empleo de un solo argumento. Una argumentación
implica que uno puede evaluar un argumento, oponerlo a otros
argumentos. Ello corresponde a la dinámica de
cualquier situación de investigación o de
debate. Los argumentos siempre ocupan un lugar en un
discurso, en el sentido amplio de este término, es
decir en una serie de operaciones sucesivas que ponen en
funcionamiento un sistema semiótico. Por otra parte
las argumentaciones susceptibles de convencer de lo
apropiado de una proposición no siempre dan cuenta de
un razonamiento. Ellas pueden consistir en una
explicación, es decir describir el funcionamiento de
un sistema y mostrar el lugar de aquello que la
proposición a justificar enuncia. De esta manera, la
producción de argumentos en la argumentación
heurística se hace principalmente al nivel de un
trabajo sobre casos particulares o ejemplos. Porque a
través de los casos particulares uno puede ver como
funcionan las cosas.
Tomemos por caso la relación
enunciada en el teorema de Pitágoras. Para convencer
de lo apropiado de la proposición uno puede mostrar
varias aplicaciones numericas o verificar que la
relación se cumple para cualesquiera sean las
longitudes de los lados de un triángulo
rectángulo. De una forma más interesante, se
puede efectuar una de las muchas reconfiguraciones posibles
de cuadrados construidos sobre los lados de un
triángulo rectángulo (Padilla 1992, p. 33-38,
197-218). Estas verificaciones numéricas o esas
reconfiguraciones geométricas no constituyen una
demostración en sentido estricto, pero son argumentos
que convencen (o pueden convencer) de lo apropiado de la
proposición de Pitágoras. Y si se requiere al
sujeto que cambie el registro de representación,
éste puede justificar la proposición de
Pitágoras describiendo, con las expresiones de la
lengua natural, lo que él ha observado en las
transformaciones figurales entre cuadrados y
triángulos.
Pudiendo poner en funcionamiento
múltiples formas de discurso, y no solamente aquella
del razonamiento, la argumentación implica siempre la
puesta en funcionamiento de la lengua natural. Aun cuando
los argumentos utilizados dan cuenta de otros registros de
representación! Porque tambien hace falta explicitar
por que las transformaciones figurales o los calculos pueden
considerarse como respuesta a un problema planteado.
Retomamos aquí la fuerte intuición de todos
aquellos que desde Wittgenstein a Jean Blaise Grize han
tratado de comprender los mecanismos de la
argumentación en relacion con esos dos polos que son
la convicción de un sujeto y la comunicación
entre sujetos. Pero insistir en la lengua natural no es sin
embargo suficiente. El punto decisivo está en otro
lado: Hay dos grandes mecanismos de desarrollo de un
discurso en la lengua natural, mientras que las lenguas
formales no permiten sino uno. Uno puede darse una idea
considerando las siguientes distinciones:
Relaciones entre una proposición
dada y otra proposición
|
Relación de
Justificación
(constitutiva de un argumento)
la primera proposición
se presenta como "Tesis"
razones relativas al
interlocutor
argumentación
retórica
|
razones relativas a las
restricciones de la
situación o del
problema
argumentación
heurística
|
|
Relación de
Derivación
(constitutiva de un paso de
deducción)
la primera proposición se
presenta
como "Hipótesis" o "Premisa"
directa:
instanciación inferencia
semántica
lógica
de una lengua
|
por un
enunciado-mediador
teorema,
definición
demostración
|
|
|
Estas distinciones se refieren a funciones cognitivas muy
diferentes. Es por eso que ellas devienen esenciales para
estudiar, desde una perspectiva del aprendizaje, todas las
cuestiones relativas a las relaciones entre
argumentación y demostración.
III. Cuáles son los puntos
de partida posibles para un estudio de la
argumentación heurística?
No tenemos aquí la pretensión de ser
exhaustivos. Indicaremos solamente cuatro puntos de partida
con el propósito de subrayar la complejidad de los
fenómenos relativos a una problemática de la
argumentación en el marco de la enseñanza y el
aprendizaje de las matemáticas.
1. El contexto de
producción de los argumentos
Hay diferentes factores que determinan el contexto de
producción de un argumento: la posición del
interlocutor con respecto a quien ofrece el argumento
(cooperación, conflicto, ,,,), el motivo de la
argumentación (tomar una decisión, encontrar
la solución a un problema,
), y el objectivo en
mira (hacer que alguien cambie de punto de vista, disminuir
los riesgos de error o de incertidumbres ante una
elección,
). En el caso de la
argumentación en matemáticas, el contexto de
producción está determinado por el problema a
resolver. Ese es ciertamente uno de los puntos mas
importantes de consenso entre los investigadores en
didáctica. Nos parece sin embargo que la
noción de problema se mantiene todavía muy
genertal y que la elección de un problema
matemático preciso para observar a los estudiantes se
mantiene muy dentro de lo contingente. Entre la extrema
generalidad de la noción de problema y el caracter
siempre particular de los problemas planteados, no existe
todavía ningun nivel intermedio de análisis.
Para ser más preciso: el análisis del problema
elegido se hace frecuentemente hacia abajo, es decir en
función de su solución o de sus soluciones, y
no hacia arriba, es decir en función de las
variaciones posibles de los datos y de las variaciones de
distancia que resultan entre el enunciado y la
inicialización de los tratamientos matemáticos
pertinentes. Más radicalmente, no se dispone de una
clasificación elemental de problemas que permitan
comparar entre ellos problemas puramente matemáticos
con problemas de aplicación de las
matemáticas, desde el punto de vista de los procesos
de argumentación heurística. Y la
comparación podría tambien hacerse de acuerdo
con los varios dominios dentro de la matemática:
geometría, aritmética, probabilidades,
álgebra.
2. Los modos de expresión:
lengua hablada o lengua escrita
Las capacidades de aprehensión y el nivel
comprensión accesibles en relación a una
cuestión o un tópico no son siempre los mismos
en las posiciones alternativas de hablar-escuchar y las de
redactar-releer (uno no lee, uno relee). Solamente en los
últimos años se ha prestado atención a
la importancia de esas diferencias que se pasaban por alto
al hablar de "lenguaje" o de "prácticas de lenguaje."
Sin embargo, el pasaje de un modo de expresión oral a
un modo de expresión escrita es complejo y presenta
dificultades serias aún al nivel del ciclo
básico de la escuela secundaria. En efecto, este
pasaje requiere una reorganización o una
reestructuración de la expresión, tal como
Vygotskii lo ha explicado (1985, p. 360-368, 376).
Aquella observación tiene sus
consecuencias en lo que concierne a un estudio de la
argumentación. La argumentación
retórica se desarrolla sobre todo dentro del modo de
expresión oral. El problema que se plantea es de
saber si la argumentación heurística
está ligada de manera privilegiada a alguno de esos
dos modos de expresión. Esto nos lleva nuevamente a
la cuestión de saber si la práctica de las
matemáticas hoy en día podría llegar a
ser totalmente oral. Pero, frecuentemente por razones
pedagógicas y didácticas, se privilegia las
situaciones de cooperación y de discusión
entre estudiantes para el trabajo de resolución de
problemas. Ello implica evidentemente privilegiar el modo de
expresión oral. Cuales pueden ser entonces las
funciones y el aporte de un pasaje al modo de
expresión escrito? Solamente satisfacer una
función de comunicación y de
institucionalización&emdash;es decir, una especie de
prolongación del modo de expresión oral? O
tambien funciones de tratamiento y de control&emdash;lo que,
concerniente a los textos de prueba implicaría una
ruptura con el modo oral de expresión? Como se ve,
detrás de esta cuestión está todo el
problema de las interferencias entre el contexto de una
argumentación retórica y el de una
argumentación heurística. Puede ser que este
sea uno de los aportes de un ambiente informático:
permitir la disociación completa de esos dos tipos de
contextos.
3. Las operaciones discursivas
puestas en funcionamiento
Hemos insistido en el caracter fundamental de la
noción de discursividad. Ella implica necesariamente
la puesta en funcionamiento de un "lenguaje" sea natural o
formal. Existe un lenguaje matemático como se suele
decir? Esta pregunta no nos parece una pregunta bien
planteada. El problema no es un problema de la lengua que se
utiliza sino de las operaciones discursivas que uno puede
hacer con una lengua. Todas las operaciones discursivas
pueden ser reagrupadas alrededor de cuatro grandes funciones
discursivas: designar los objetos, decir alguna cosa sobre
aquellos objetos de tal suerte de tomar ipso facto un valor
epistémico (vgr., enunciar una proposición),
generar otras proposiciones a partir de una
proposición dada y, finalmente, integrar a la
proposición enunciada su valor de toma de
responsabilidad epistémica por parte de quien la
enuncia. Ahora bien lo que es notable es la tendencia,
cuando se habla de lenguaje en matemáticas a no
considerar sino algunas de las varias operaciones
discursivas. Las páginas que Freudenthal (1978)
consagra a la distinción de tres niveles de lenguaje
en matemáticas (nivel ostensivo, nivel funcional, y
nivel de las convenciones simbólicas que permiten
tomar en cuenta variables) nos parecen reveladoras de una
actitud todavía muy extendida: la reducción
del lenguaje a la sola función discursiva de designar
objetos.
4. Argumentación versus
demostración
Se trata aquí de la cuestión de la
homogeneidad de los procesos a través del desarrollo
completo de una actividad matemática: luego de las
primeras fases de investigación hasta el
establecimiento de la prueba matemática de la
solución encontrada, es decir hasta su
demostración o su "prueba formal"&emdash;una
expresión cuyo empleo frecuentemente reviste una
connotación negativa. Se puede imaginar esta
cuestión desde un punto de vista estrictamente
matemático y postular que estos procesos son
homogéneos: en ese caso se podrá afirmar una
continuidad cognitiva entre argumentar, explicar, y
demostrar. Pero si uno piensa esta cuestión desde un
punto de vista cognitivo, la respuesta es muy diferente. Y
el punto de vista cognitivo no puede despreciarse cuando uno
se refiere al aprendizaje de las matemáticas por
alumnos pequeños, entre quienes los diferentes
registros de representación de la práctica de
las matemáticas puestas en juego son todavía
poco o nada coordinadas.
Y aquello conduce a formular dos
preguntas, para las cuales no disponemos aun suficientes
datos de observación verdaderamente explotables.
- En referencia al trabajo del matemático
profesional, se insiste mucho sobre el momento de la
elaboración de una conjetura. Pero, al menos para
los alumnos, son los argumentos que conducen a derivar y
a sostener una conjectura igualmente útiles para
encontrar la manera de probar dicha conjetura?
- En referencia a las capacidades que un alumno puede
tener disponible para controlar la pertinencia de los
argumentos producidos cuando el busca demostrar una
conjetura que ha sido formulada y retenida como
plausible: Son ellas considerablemente desarrolladas
cuando él ha comprendido las diferencias de
funcionamiento discursivo entre las "pruebas discursivas"
y las argumentaciones retóricas, más
familiares o más espontáneas?
Se ve entonces la complejidad de los problemas ligados al
estudio de la argumentación. Estamos casi tentados a
decir que es más facil hacer acceder a los
estudiantes a la demostración que a un manejo diestro
de la argumentación, al menos a la
argumentación retórica. Pero terminemos
llamando atención a una situación paradojal de
la enseñanza de las matemáticas. La
importancia que se reconoce a la comunicación y a las
interacciones sociales en didáctica conduce
necesariamente a dar una prioridad de hecho al lenguaje
natural. Ahora bien, al mismo tiempo no se busca retener
sino modelos cognitivos de aprendizaje en los cuales el rol
del lenguaje, al menos el del lenguaje natural, existe en un
segundo plano. Uno de los intereses de una
problemática de la argumentación es de
alumbrar esta situación paradojal.
Referencias
Balacheff N. (1982) Preuve et démonstration
en mathématiques au collège. Recherches en
didactique des mathématiques. 3(3) 262-306
Ducrot O. (1972) Dire et ne pas dire. Paris :
Hermann
Freudenthal H. (1978) Weeding and Sowing.
Dordrecht : Reidel Publishers
Glaeser G. (1973) Le livre du problème, I,
Pédagogie de l'exercice et du problème.
Lyon : Cedic
Grize J. B., Piéraut-le Bonniec G.
(1983) La contradiction, essais sur les opérations
de la pensée. Paris : P.U.F.
Grize J. B. (1996) Logique naturelle et
communications. Paris : P.U.F.
Piaget J., Inhelder B. (1955) De la logique
de l'enfant à la logique de l'adolescent. Paris :
P.U.F.
Padilla V. (1990) L'influence d'une acquisition de
traitements purement figuraux sur l'apprentissage des
mathématiques. Thèse. Strasbourg :
Université Louis Pasteur.
Perelman C., Olbrechts-Tyteca L. (1958) La
nouvelle rhétorique. Traité de
l'argumentation (2 volumes) Paris : P.U.F.
Searle J.R. (1969) Speech Acts. Cambride
University Press
Toulmin S. (1958) The Uses of Argument.
Cambridge University Press
Vygotski L.S. (1934). Pensée et langage
(traduction française 1985 ). Paris : Editions
sociales.
¿Reacciones?,
¿Observaciones?
Reacciones y observaciones a la contribución de
raymond Duval
seran publicadas en la carta de Enero/Febrero 2000.
©
R. Duval 1999
Tradución
del original en francès, Patricio
Herbst
|