Juillet/Août 1999

 

Argomentazione e dimostrazione:
una relazione complessa, produttiva e inevitabile
nella matematica e nella didattica della matematica

 

Paolo Boero
Dipartimento di Matematica
Università di Genova - Italia

 

Riconosco l'importanza del contributo di N. Balacheff sul tema trattato nell'ultima Newsletter on Proof, specialmente per quanto riguarda la discussione delle diverse concezioni dell'argomentazione e dei suoi legami complessi con la dimostrazione in matematica.

Vorrei iniziare con alcune osservazioni locali che riguardano la coerenza tra la prima e la seconda parte del contributo di NB. Considererò due punti in particolare.
   NB scrive: "l'argomentazione è spontanea nelle pratiche comuni". Questa affermazione deve essere riferita a tipi specifici di argomentazione. L'ampia esperienza condotta in classi italiane di estrazione socio-culturale bassa mostra che mentre argomentazioni come quelle considerate da Perelman si sviluppano spontaneamente negli alunni, lo sviluppo di argomentazioni come quelle considerate da Toulmin e da Ducrot richiede una forte mediazione da parte dell'insegnante.
   NB parla di "libertà che uno si può permettere, come persona, nel gioco dell'argomentazione". Anche in questo caso mi sembra che l'affermazione non sia appropriata per l'argomentazione come è intesa da Toulmin (e anche per come è intesa da Ducrot).

Consideriamo ora il tema principale della seconda parte del contributo di NB (pagine 3 e 4): il ruolo dell'argomentazione nell'approccio alla dimostrazione, in particolare il fatto che l'argomentazione potrebbe essere un ostacolo epistemologico nell'approccio alla dimostrazione.
   A tale proposito devo ammettere che esiste una diversità notevole tra la prospettiva più o meno esplicitamente indicata da NB e la prospettiva in cui noi ci muoviamo (per "noi" intendo il gruppo di ricerca didattica che coordino a Genova). Questa diversità può spiegare perchè non entro nel merito del discorso sull'argomentazione come è proposto da NB ma cerco di focalizzare altri aspetti. La diversità principalmente consiste nel fatto che, secondo il nostro punto di vista, la distinzione tra "dimostrare" come processo e "dimostrazione" come prodotto è un elemento di rilievo nella discussione sul ruolo dell'argomentazione nelle attività matematiche riguardanti i teoremi. Ed anche la natura di tali attività è considerata in modo diverso.
   Secondo il nostro punto di vista, l'approccio alla dimostrazione appartiene a un più generale apprendistato culturale e cognitivo - l'ingresso nella cultura dei teoremi (e delle teorie matematiche). Qui alludo alla definizione di teorema proposta da Bartolini et al (1997) come "enunciato", "dimostrazione" e "teoria di riferimento".
   In tale quadro teorico l'ingresso nella cultura dei teoremi richiede lo sviluppo di specifiche competenze che riguardano la produzione di congetture e la dimostrazione di tali congetture facendo riferimento ad elementi specifici del sapere teorico. Precise analisi epistemologiche e cognitive sono necessarie al fine di selezionare specifici elementi essenziali della produzione e della dimostrazione di congetture e della gestione delle teorie che gli studenti devono affrontare nel loro apprendistato. Per questa via, l'ingresso nella cultura dei teoremi potrà essere accessibile e significativo (dal punto di vista matematico) per la maggior parte degli studenti. Per fare un esempio, occorre prendere in considerazione il ruolo cruciale dell'esplorazione dinamica (cf. Boero et al, 1996; vedi anche Simon, 1996) della situazione problematica nella produzione e nella dimostrazione delle congetture; ciò può essere di aiuto nella scelta di "campi di esperienza" e di compiti per cui tale esplorazione dinamica è "naturale" per gli studenti. Un altro esempio riguarda il fenomeno della (possibile) continuità tra la produzione della congettura e la costruzione della sua dimostrazione (vedi "unità cognitiva dei teoremi": Garuti et al, 1996, 1998); tale fenomeno deve essere considerato al fine di scegliere situazioni problematiche adeguate in cui la continuità può essere realizzata senza troppe difficoltà. Un altro elemento cruciale da prendere in considerazione riguarda il fatto che i teoremi (enunciato, dimostrazione, teoria di riferimento) appartengono alla cultura scientifica (intesa nel senso di Vygotskij, "Pensiero e linguaggio", Laterza, 1990, Capitolo VI). Una appropriata mediazione da parte dell'insegnante è necessaria per tutti quegli aspetti per i quali si verifica una rottura significativa con la cultura comune: la forma degli enunciati, la struttura testuale della dimostrazione, la natura dei ragionamenti leciti, la particolare organizzazione delle teorie matematiche, ecc.

Nel quadro teorico sopra delineato, se vogliamo considerare il ruolo dell'argomentazione nelle attività matematiche riguardanti i teoremi dobbiamo prendere in esame diversi aspetti di tali attività; li descriverò come "fasi" delle attività di produzione delle congetture e di costruzione delle dimostrazioni, anche se esse non possono essere separate e poste in successione lineare nel lavoro dei matematici (vedi più avanti)

I) produzione di una congettura (che comprende: esplorazione della situazione problematica, identificazione di "regolarità", identificazione di condizioni che assicurano il verificarsi di tali regolarità, identificazione di argomenti che assicurano la plausibilità della congettura prodotta, ecc.). Questa fase appartiene alla dimensione privata del lavoro dei matematici. Possiamo rilevare che l'appropriazione di un enunciato dato presenta importanti elementi in comune con questa fase (esplorazione della situazione problematica a cui si riferisce l'enunciato, identificazione di argomenti per la sua plausibilità, ecc.);

II) formulazione dell'enunciato realizzata attenendosi a convenzioni circa l'organizzazione del testo (questa fase di solito conduce a un testo che può esere reso pubblico);

III) esplorazione del contenuto (e dei limiti di validità) della congettura; elaborazioni di natura euristica, semantica (o anche formale) sui possibili legami tra ipotesi e tesi; identificazione di argomenti appropriati per la validazione dell'enunciato e individuazione di possibili legami tra essi (questa fase di solito appartiene alla dimensione privata del lavoro dei matematici);

IV) selezione e concatenazione deduttiva di argomenti di natura teorica e coerenti tra loro, spesso guidate da analogie con situazioni simili o svolte in opportuni casi particolari (questa fase è spesso ripresa quando i matematici presentano il loro lavoro ai colleghi in modo informale - o anche in presentazioni pubbliche come i seminari: cf Thurston, 1994);

V) organizzazione degli argomenti concatenati in una dimostrazione accettabile secondo gli standard matematici correnti. Questa fase conduce alla produzione di un testo da pubblicare. Possiamo rilevare che gli standard matematici che regolano tale produzione non sono assoluti - essi possono differire tra oggi e un secolo fa, o tra un testo per il liceo e un testo di livello universitario;

VI) avvicinamento ad una dimostrazione formale ("derivazione"). Questa fase può mancare nei teoremi dei matematici (anche se la maggior parte di loro è consapevole del fatto che una prova formale può essere costruita e alcuni di loro sono effettivamente capaci di costruirla in qualche caso). Spesso questa fase riguarda solo alcune parti della dimostrazione (in cui il trattamento formale è facile, oppure devono essere identificate possibili lacune). Da rilevare tuttavia che Thurston (1994) sostiene che è praticamente impossibile (e senza senso per il matematico) produrre una dimostrazione formale completa per la maggior parte dei teoremi della matematica. Thurston scrive: "Dobbiamo riconoscere che le dimostrazioni comprensibili e controllabili con mezzi umani che produciamo oggi costituiscono la cosa più importante per noi, e che si tratta di dimostrazioni piuttosto diverse da dimostrazioni formali. Al momento attuale, le dimostrazioni formali sono fuori della nostra portata e nella maggior parte dei casi irrilevanti: disponiamo di procedimenti umani efficaci per accertare la validità di un eununciato matematico".

Possiamo notare che le sei fasi descritte sopra sono usualmente interconnesse in modo non lineare nel lavoro ordinario dei matematici. Ad esempio, nel corso della quinta fase si può scoprire una lacuna nella concatenazione degli argomenti, e ciò può richiedere una nuova esplorazione della situazione problematica di partenza con conseguente rinforzo delle ipotesi (prima fase) e formulazione di un nuovo enunciato (seconda fase).
   Vorrei anche sottolineare l'importanza della distinzione (che emerge dalla precedente descrizione delle sei "fasi") tra enunciato di un teorema come prodotto e congetturare come processo, e tra dimostrazione matematica come prodotto e dimostrare come processo.

Torniamo ora all'argomentazione. Al fine di trattare il tema dell'argomentazione nelle attività matematiche, e in particolare nel congetturare e nel dimostrare, sono convinto che sarebbe utile elaborare un quadro teorico specifico riguardante l'argomentazione. In effetti, dovrebbero essere prese in considerazione sia la concezione di Toulmin che quella di Ducrot, ma nessuna delle due sembra soddisfacente per trattare gli aspetti specifici dell'argomentazione che riguardano le attività matematiche: il problema delle conoscenze di riferimento non è rilevante nella concezione di Ducrot e la struttura linguistica della successione degli argomenti non è approfondita da Toulmin. D'altra parte sia le conoscenze di riferimento che la struttura della successione degli argomenti sono rilevanti nelle attività matematiche.
   Il Webster Dictionary fornisce spunti per un possibile inquadramento teorico dell'argomentazione come "The act of forming reasons, making inductions, drawing conclusions, and applying them to the case under discussion" ("l'atto di produrre ragioni, realizzare induzioni, trarre conclusioni, ed applicarle al caso in discussione") e come "Writing or speaking that argues" (scrivere o parlare che argomenta). Possiamo notare che questa distinzione tra argomentazione come processo e argomentazione come prodotto può essere utile per interfacciare l'argomentazione come processo con il dimostrare e l'argomentazione come prodotto con la dimostrazione vedi più avanti. Il isce un "argomento" come "A reason or reasons offered for or against a proposition, opinion or measure" (Una ragione o un complesso di ragioni a favore o contro una proposizione, una opinione o una misura). Questa definizione potrebbe dare luogo a un discorso articolato sulle "conoscenze di riferimento" nell'argomentasre e nel dimostrare. Douek (1998, 1999) sfrutta queste definizioni per analizzare gli aspetti argomentativi del dimostrare in matematica. Tenendo presenti le sue analisi, possiamo considerare i molteplici ruoli dell'argomentazione nelle attività matematiche riguardanti i teoremi.
   Nelle prime due fasi, l'argomentazione riguarda l'analisi (privata ed eventualmente anche pubblica) della situazione problematica, la messa in discussione della validità e della significatività della regolarità individuata, la precisazione delle ipotesi, la discussione di possibili formulazioni dell'enunciato. Nella terza fase, l'argomentazione svolge tre importanti funzioni: produrre (o riprendere dalla prima fase - "unità cognitiva dei teoremi", Garuti et al, 1996, 1998) argomenti per la validazione, discutere la loro ammissibilità in relazione alla loro natura (ad esempio, sebbene argomenti di natura empirica possano essere importanti nella prima fase e anche nell'approccio alla validazione, essi devono ridimensionati e poi esclusi dalla terza fase in poi), e trovare possibili collegamenti tra un argomenti e l'altro. Potrei aggiungere che la terza fase è essenzialmente di natura argomentativa e che anche la quarta fase è largamente argomentativa (soprattutto per quanto riguarda il controllo della concatenazione degli argomenti). Nella quinta fae l'argomentazione può interveniore per confrontare il testo che è in corso di produzione con i correnti standard di rigore, di organizzazione testuale, ecc.

L'analisi precedente può essere di aiuto nell'approccio alla dimostrazione a scuola. A nostro avviso due questioni principali devono essere affrontate:

• la natura degli argomenti presi in considerazione dagli studenti come argomenti affidabili per la validazione. Gli studenti possono usare argomenti di natura empirica (misurazioni, ecc.), evidenze visive, riferimenti al corpo, ecc. La maggior parte di questi argomenti possono essere utili o addirittura necessari nella prima e nella terza fase e (con funzioni specifiche diverse) nella quarta fase, ma non sono assolutamente più accettabili a partire dalla quarta fase. Inoltre nelle ultime quattro fasi gli studenti dovrebbero essere anche in grado di riferirsi ad argomenti di natura teorica appartenenti alla teoria di riferimento (tali argomenti diventano gli unici accettabili nella quinta fase);

la natura del ragionamento prodotto dagli studenti. Spesso essi trovano analogie ed esempi sufficienti per renderli sicuri della validità di un enunciato. Mentre ciò è utile e perfettamente legittimo in alcune delle attività riguardanti i teoremi (in particolare nella prima e nella terza fase e, con una funzione diversa, nella quarta fase), ciò non è più accettabile nella quinta fase.

In relazione alle questioni ora poste possiamo dire che per quanto riguarda le attività riguardanti i teoremi c'è una differenza importante tra i matematici e gli studenti: i matematici sono capaci non solo di giocare il gioco dell'argomentazione più libera e ricca (specie nelle fasi I e III) ma anche il gioco dell'argomentazione svolta sotto i vincoli crescenti delle regole strette che riguardano i prodotti finali (specie nelle fasi II e V). Al contrario gli studenti trovano serie difficoltà nell'apprendere le regole del secondo gioco e nel passare da un gioco all'altro (ma dobbiamo riconoscere che hanno difficoltà anche nel gioco dell'argomentazione libera in campo matematico!).
   Io sono convinto che entrambe le questioni presentate sopra debbano essere prese in considerazione in una prospettiva educazionale.

La natura degli argomenti (empirici o teorici, ecc.) a cui gli studenti fanno riferimento non dipende solo dalla cultura sui teoremi sviluppata nella classe, ma anche dalla natura del compito. Per loro intrinseca natura, certi compiti inducono gli alunni a produrre e/o sfruttare argomenti di natura empirica (misurazioni, evidenze visive, ecc.). Ad esempio, i compiti usuali che riguardano la geometria piana promuovono il ricorso alle misurazioni e all'evidenza visiva, mentre opportuni compiti riguardanti la geometria dello spazio potrebbero inibire ciò. Un esempio è presentato in Bartolini Bussi (1996): la situazione problematica riguarda un tavolo rettangolare con una pallina posta nel centro. Gli alunni devono disegnare la pallina su un disegno in prospettiva del tavolo e validare la loro costruzione facendo riferimento a una "tavola degli invarianti" della rappresentazione piana di situazioni spaziali. Un altro esempio è presentato in Boero et al (1996): in questo caso gli alunni devono trovare se (e sotto quali condizioni) due bastoni non paralleli producono ombre del sole parallele sul terreno e devono altresì validare le loro soluzioni facendo riferimento a proprietà geometriche delle ombre del sole (in particolare, la proprietà secondo cui due bastoni verticali paralleli producono ombre parallele sul terreno).
   Per quanto riguarda la natura del ragionamento, il ruolo dell'insegnante diventa ancora più significativo. Facendo riferimento a opportuni "modelli" (o "voci", secondo Boero et al, 1997), l'insegnante dovrebbe progressivamente dare maggior valore a specifiche forme di ragionamento. Anche in questo caso la scelta del compito può essere di aiuto: in entrambi gli esempi accennati sopra, il ragionare per esempi, la considerazione di specifici casi, ecc. appare chiaramente insufficiente agli alunni, ed il ragionamento organizzato in forma deduttiva mostra tutta la sua potenza. In tali situazioni il compito dell'insegnante diventa quello di aiutare gradualmente gli alunni a organizzare l'unico tipo di ragionamento efficace secondo le modalità e le regole della comunità dei matematici.

References

Bartolini Bussi, M. (1996): 'Mathematical Discussion and Perspective Drawing in Primary School', Educational Studies in Mathematics, 31, 11-41

Bartolini Bussi, M.; Boero,P.; Ferri, F.; Garuti, R. and Mariotti, M.A.: 1997, 'Approaching geometry theorems in contexts', Proceedings of PME-XXI, Lahti, vol.1, pp. 180-195

Boero, P.; Garuti, R. and Mariotti, M.A.: 1996, 'Some dynamic mental processes underlying producing and proving conjectures', Proceedings of PME-XX, Valencia, vol. 2, pp. 121-128

Boero,P.; Pedemonte, B. & Robotti, E.: 1997, 'Approaching Theoretical Knowledge Through Voices and Echoes: a Vygotskian Perspective', Proc. of PME-XXI, Lahti, vol. 2, pp. 81-88

Douek, N.: 1998, 'Some Remarks about Argumentation and Mathematical Proof and their Educational Implications', Proceedings of the CERME-I Conference, Osnabrueck (to appear)

Douek, N.: 1999, 'Argumentative Aspects of Proving: Analysis of Some Undergraduate Mathematics Students' Performances', Proceedings of PME-XXIII, Haifa (to appear)

Garuti, R.; Boero, P.; Lemut, E.& Mariotti, M. A.:1996, 'Challenging the traditional school approach to theorems: a hypothesis about the cognitive unity of theorems', Proc. of PME-XX, Valencia, vol. 2, pp. 113-120

Garuti, R.; Boero,P. & Lemut, E.: 1998, 'Cognitive Unity of Theorems and Difficulties of Proof', Proceedings of PME-XXII, vol. 2, pp. 345-352

Simon, M.: 1996, 'Beyond Inductive and Deductive Reasoning: The Search for a Sense of Knowing', Educational Studies in Mathematics, 30, 197-210

Thurston, W.P: 1994, 'On Proof and Progress in Mathematics', Bull. of the A.M.S., 30, 161-177

 

Reazioni? Osservazioni?

Le reazioni al contributo di Paolo Boero saranno pubblicate
nel numero di Settembre/Ottobre 99 della Proof Newsletter.

© P. Boero 1999

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