Argumentación y Demostración:
Una Relación Compleja, Productiva, e Inevitable en
Las Matemáticas y en la Educación Matemática

Reconozco la importancia de la contribución de N. Balacheff a la cuestión discutida en la entrega anterior de la Gacetilla sobre la Prueba, especialmente en lo que concierne a la discusión de las varias concepciones sobre la argumentación y sus complejos vínculos con la prueba en matemáticas.

Me gustaría comenzar con algunos comentarios puntuales que se refieren a la coherencia entre la primera y la segunda parte de la contribución de Balacheff; desearía llamar la atención a dos asuntos en particular.
   Balacheff dice: "la argumentación es espontánea en las prácticas comunes." Este enunciado tiene que referirse a un tipo específico de argumentación. Experiencias en clases italianas cuyos alumnos pertenecen a estratos de bajo nivel socio-cultural muestran que si bien algunas argumentaciones del tipo de Perelman se desarrollan espontáneamente en los niños, el desarrollo de argumentaciones del tipo de Toulmin o de Ducrot requieren una fuerte mediación de parte del docente.
   Balacheff habla de "la libertad que uno puede ejercer, como persona, en el juego argumentativo." Una vez más me parece que este comentario no es apropiado si uno se refiere a argumentaciones del tipo de Toulmin (y aún del tipo de Ducrot).

Pasemos ahora a la cuestión principal en la segunda parte de la contribución de Balacheff (páginas 3 y 4): el rol de la argumentación en el aprendizaje de la demostración en matemáticas, particularmente el hecho de que la argumentación pueda ser un obstáculo epistemológico al aprendizaje de la demostración.
   Aquí debo decir que nuestra perspectiva difiere significativamente de la que Balacheff nos ha presentado ("nuestra perspectiva" indica aquélla del grupo de investigación que dirijo en Génova). Esta diferencia puede ayudar a entender por qué prefiero no entrar en el discurso sobre la argumentación tal como Balacheff lo propone, sino concentrarme en otros aspectos. La diferencia entre ambas perspectivas consiste fundamentalmente en el hecho de que, desde la nuestra la distinción entre probar (proving) como proceso y prueba (proof) como productoes un factor principal en la discusión acerca del rol de la argumentación en las actividades matemáticas que conciernen teoremas. Más aún, la naturaleza de esas actividades tambien se considera de manera diferente.
   Según nuestra perspectiva, la aproximación a la demostración pertenece a una forma más general de aprendizaje (apprenticeship) cultural y cognitivo -- tal aprendizaje es el correspondiente al ingreso a la cultura de teoremas y teorías matemáticas. Aquí aludo a la definición de teorema provista por Bartolini et al. (1997) como "enunciado," "prueba," y "teoría de referencia."
   En ése marco teórico, ingresar a la cultura de los teoremas significa desarrollar competencias específicas inherentes a la producción de teoremas y a la prueba de las conjeturas producidas mediante tomar en cuenta elementos del saber teórico. Se necesitan análisis epistemológicos y cognitivos para elegir elementos peculiares esenciales para la producción y prueba de conjeturas y la gestión de teorías que los estudiantes encontrarán en su aprendizaje (apprenticeship). De esta manera, el ingreso a la cultura de los teoremas será accesible y significativa (desde el punto de vista matemático) para la mayoría de los estudiantes. Por ejemplo, el importante papel de la exploración dinámica de la situación problemática para producir y probar conjeturas debe tomarse en cuenta; esto puede ayudar a seleccionar "áreas de experiencia" y tareas donde tales exploraciones dinámicas sean "naturales" para los estudiantes (cf. Boero et al, 1996; veéase tambien Simon, 1996). Además de ello, el fenómeno de una continuidad posible entre la producción de una conjetura y la construcción de su prueba (véase "Cognitive Unity of Theorems": Garuti et al, 1996, 1998) debe ser considerada, con el propósito de poder seleccionar situaciones problemáticas apropiadas donde esta continuidad funcione suavemente. Otra cuestión crucial tiene que ver con el hecho de que los teoremas (es decir, los enunciados, pruebas, y teorías) pertenecen a la cultura científica (en el sentido de Vygotsky, "Thought and Language", Capítulo VI). Una mediación apropiada por parte del docente es necesaria para todos aquellos aspectos en los cuales hay una ruptura significativa con la cultura de todos los días: la forma de los enunciados, la estructura textual de las pruebas matemáticas, la naturaleza de los razonamientos permitidos, la organización peculiar de las teorías matemáticas, etc.

Dentro del marco teórico esbozado más arriba, cuando se trata del rol de la argumentación en las actividades matemáticas que conciernen teoremas debemos considerar varios aspectos de esas actividades. Voy a describir a aquellos aspectos como fases en las actividades de producción de teoremas y construcción de pruebas matemáticas (aunque ellas no pueden separarse y ordenarse sucesivamente cuando se trata del trabajo de los matemáticos&emdash;véase más abajo):

I) producción de una conjetura (incluyendo: exploración de la situación problemática, identificación de "regularidades," identificación de condiciones bajo las cuales tales regularidades ocurren, identificación de argumentos para la plausibilidad de la conjetura producida , etc.). Esta fase pertenece a la esfera privada del trabajo de los matemáticos. Podríamos agregar que la apropiación de un enunciado dado comparte características importantes con esta fase (exploración de la situación problemática subyacente en el enunciado, identificación de argumentos para su plausibilidad, etc.);

II) formulación del enunciado de acuerdo con convenciones culturales compartidas (esta fase suele conducir a un texto publicable);

III) exploración del contenido (y los límites de validez) de la conjetura; elaboraciones heurísticas, semánticas (y aún formales) acerca de las relaciones entre hipótesis y tesis; identificación de argumentos apropiados para la validación, relacionados con la teoría de referencia, y ponderación de relaciones posibles entre ellos (esta fase suele pertenecer a la esfera privada del trabajo de los matemáticos);

IV) selección y encadenamiento de argumentos teóricos coherentes en una cadena deductiva, frecuentemente bajo la guía de la analogía o en casos específicos y apropiados, etc. (Esta fase es frecuentemente resumida cuando los matemáticos presentan sus trabajos a colegas de una manera informal&emdash;y aún en presentaciones públicas como por ejemplo seminarios; véase Thurston, 1994.).

V) organización de la cadena de argumentos en la forma de una prueba que es aceptable desde el punto de vista de los estándares matemáticos vigentes. Esta fase conduce a la producción de un texto para publicación. Podemos observar que los estándares matemáticos para esta fase no son absolutos&emdash;ellos claramente difieren si comparamos un artículo publicado hoy en día con uno del siglo dieciocho, o un capítulo de un libro de texto para la escuela secundaria con uno para el nivel universitario.

VI) aproximación a la prueba formal. Esta fase puede faltar en los teoremas de los matemáticos (aunque la mayoría de ellos son conscientes del hecho de que una prueba formal puede ser producida y algunos de ellos pueden a veces lograrlo). A veces esta fase concierne solamente algunas partes de la prueba (donde el tratamiento formal es sencillo o donde detalles o errores sutiles deben ser identificados). Sin embargo, Thurston (1994) afirma que es prácticamente imposible (y sin sentido para el matemático profesional) producir una prueba formal completa para la mayoría de los teoremas matemáticos. Thurston indica: Deberíamos reconocer que esas pruebas humanamente comprensibles y humanamente controlables que nosotros (los matemáticos) efectivamente producimos son lo que es más importante para nosotros, y que ellas son diferentes de las pruebas formales. Al presente, las pruebas formales están fuera de alcance y son en su mayoría irrelevantes: Tenemos buenos procesos humanos para controlar la validez matemática.

Podríamos notar que esas seis fases están frecuentemente interconectadas de manera no lineal en el trabajo de los matemáticos. Por ejemplo, en la quinta fase una falla puede ser descubierta en el encadenamiento de los argumentos, y esto puede requerir una nueva exploración de la situación problemática y un refuerzo de las hipótesis (primera fase) que conduce a un nuevo enunciado (segunda fase).
   Me gustaría tambien enfatizar la importancia de la distinción (que surge de la descripción precedente de las seis "fases") entre el enunciado de un teorema como producto y la conjetura como proceso, y entre la demostración como producto y la prueba matemática como proceso.

Volvamos ahora a la argumentación. Para poder tratar con la argumentación en las actividades matemáticas, especialmente en la conjetura y la prueba, pienso que sería útil elaborar un marco teórico específico para la argumentación. Por cierto, tanto la concepción de Toulmin como la de Ducrot deberían ser tomadas en cuenta, pero ninguna de ellas parece satisfacer el propósito de analizar las peculiaridades de la argumentación en las actividades matemáticas: el problema del conocimiento de referencia no es relevante en la concepción de Ducrot, mientras que Toulmin no considera en profundidad la estructura lingüística de la sucesión de argumentos. En las actividades matemáticas, tanto el conocimiento de referencia como la estructura de la sucesión de argumentos son relevantes.
   El Webster Dictionary señala el camino hacia una posible definición de argumentación al decir que ella es "el acto de formar razones, hacer inducciones, derivar conclusiones, y aplicarlas al caso que se discute" y "escritura o habla que argumenta."  Podríamos notar que esta distinción entre argumentación como proceso y argumentación como producto puede ayudar a relacionar por un lado a la argumentación como proceso con la prueba en matemáticas (proving), y por otro lado a la argumentación como producto con la demostración matemática (proof; véase más adelante). El Webster Dictionary define "argumento" como "una razón o razones ofrecidas en apoyo o en contra de una proposición, opinión, o medida." Esta definición podría extenderse para abarcar un discurso sobre el conocimiento de referencia al argumentar (y probar).Douek (1998, 1999) usa esas definiciones para analizar aspectos argumentativos de la prueba en matemáticas. Teniendo en cuenta los análisis de Douek, podríamos considerar roles múltipes de la argumentación en las actividades matemáticas que conciernen teoremas.
   En las dos primeras fases, la argumentación tiene que ver con análisis internos (y al final públicos) de la situación problemática, con cuestionamientos de la validez y el significado de la regularidad descubierta, con refinamientos de hipótesis, con discusiones de posibles formulaciones. En la tercera fase, la argumentación juega tres roles importantes: producir (o resumir de la primera fase -- " Cognitive Unity of Theorems", Garuti et al, 1996, 1998) argumentos para la validación, discutir su aceptabilidad de acuerdo con requerimientos sobre su naturaleza (por ejemplo, aunque algunos argumentos empíricos pueden ser relevantes en la primera fase y aún en la aproximación a la validación, aquéllos deben excluirse a partir de esta fase), y encontrar posibles vínculos que lleven de uno al otro. Podría agregar que la naturaleza de la tercera fase en su totalidad es argumentativa, y la cuarta fase también es en gran parte argumentativa (especialmente en lo que tiene que ver con el control de la cadena de argumentos). En la quinta fase, la argumentación puede tener una función cuando se compara un texto siendo producido con los estándares vigentes de "rigor," organización textual, etc.

El análisis precedente puede ser útil al tratar con el problema del aprendizaje de la demostración en la escuela. Según nuestra opinión, dos problemas principales deben atacarse:

• la naturaleza de los argumentos tomados bajo consideración por los estudiantes como argumentos confiables para la validación. Los estudiantes pueden usar argumentos empíricos (mediciones, etc.), evidencia visual, referencias corporales, etc. la mayoría de esos argumentos son útiles y aún necesarios en las primera, tercera, y (con una función específica diferente) cuarta fases de la actividad con los teoremas, pero deben ser rechazados a partir de la cuarta fase. Sin embargo, en las cuatro últimas fases los estudiantes también deberían referirse necesariamente a argumentos "teóricos" que pertenezcan a la teoría de referencia (estos argumentos se vuelven exclusivos en la quinta fase);

• la naturaleza de los razonamientos producidos por los estudiantes. Frecuentemente ellos encuentran analogías, ejemplos, etc. que les son suficientes para estar seguros de la validez de un enunciado. Si bien aquellos son muy útiles y perfectamente aceptables en algunas de las actividades con los teoremas (particularmente en la primera y en la tercera fases y, con una función diferente en la cuarta fase), ellos no son ya aceptables en la quinta fase.

De modo que cuando se trata de actividades con teoremas, podríamos decir que hay una diferencia importante entre los matemáticos profesionales y los estudiantes: los matemáticos son capaces de jugar no solamente el libre juego de la argumentación (especialmente en las fases I y III) sino también el juego de la argumentación bajo las crecientes restricciones de las reglas estrictas inherentes a la aceptabilidad de los productos terminados (especialmente en las fases II y V). En contraste, los estudiantes encuentran serias dificultades al aprender las reglas de este último juego y pasar de un juego al otro (pero debemos reconocer que ellos también encuentran dificultades al argumentar libremente en matemáticas!).
   Me parece que ambos problemas deben ser considerados y atacados desde un punto de vista educativo.

La naturaleza de los argumentos (empíricos o teóricos) a los que los estudiantes se refieren no depende solamente de la cultura de teoremas desarrollada en la clase, sino también se apoya fuertemente en la naturaleza de la tarea. Por su propia naturaleza, algunas tareas inducen a los estudiantes a producir y/o explotar argumentos empíricos (mediciones, evidencia visual, etc.). Por ejemplo, las tareas de geometría plana que se proponen frecuentemente a los estudiantes permiten la oportunidad de recurrir espontáneamente a la medición y evidencia visual, mientras que tareas apropiadas en la geometría del espacio podrían impedir tales recursos.
   De esas tareas los estudiantes pueden aprender (bajo la guía del docente) a explotar argumentos que pertenezcan a un conjunto de enunciados confiables (un "gérmen de teoría") sobre el espacio. Un ejemplo se presenta en Bartolini Bussi (1996): la situación problemática concierne una mesa rectangular con una bola pequeña puesta en el centro; los estudiantes tienen que dibujar la bola en un dibujo en perspectiva de la mesa y validar su construcción haciendo referencia a una "tabla de invariantes" de la representación plana de situaciones espaciales. Otro ejemplo se presenta en Boero et al. (1996): en este caso los estudiantes tienen que determinar si (y bajo qué condiciones) dos postes no paralelos producen sombras paralelas en el suelo y validar sus soluciones mediante referencias a las propiedades geométricas de las sombras causadas por el sol (en particular, la propiedad por la cual postes verticales paralelos producen sombras paralelas en el suelo).
   En lo que tiene que ver con la naturaleza del razonamiento, el rol del docente se vuelve aquí aún más importante. Mediante hacer referencia a "modelos" apropiados (o "voces," de acuerdo con Boero et al., 1997), el docente debería progresivamente enfatizar tipos específicos de razonamientos. Aquí nuevamente la elección de la tarea puede ayudar: en los dos ejemplos aludidos arriba, el razonamiento usando ejemplos, la consideración de casos específicos, etc., claramente se demuestran insuficientes para los estudiantes, y los razonamientos organizados deductivamente se demuestran poderosos. En esas situaciones, la tarea del docente deviene aquella de ayudar a los estudiantes a organizar el único razonamiento efectivo posible de acuerdo con las prescripciones y modos definidos en la comunidad matemática. 

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