Acerca de la demostración y
la logica de la practica en la enseñanza de la geometría:
observaciones sobre la forma de prueba a dos columnas

En la práctica de la educación matemática en los Estados Unidos de América, la demostración se asocia frecuentemente con un curso anual en geometría y con una forma específica -- la forma de prueba a dos columnas. En su estudio etnográfico de uno de esos cursos de geometría, Sekiguchi (1991) describe la forma de prueba a dos columnas como sigue:

Uno traza una línea horizontal y otra vertical desde el punto medio de la primera hacia abajo de tal manera que se forme una letra T, creando así dos columnas bajo la línea horizontal. En la columna de la izquierda, uno escribe una cadena deductiva de enunciados que converjan a la proposición a probar, asignándole un número de orden a cada enunciado. Para cada paso de la deducción, uno debe anotar la razón de la misma en la columna de la derecha bajo el correspondiente número de orden. (pp. 78-79)

Las razones dadas para cada enunciado suelen identificar el dato (hipótesis), postulado, axioma, teorema, o definición&emdash;uno y sólo uno de ellos por renglón&emdash;que justifica al enunciado. La Figura 1 muestra un ejemplo tomado de un libro de texto reciente:

Figure 1. Una prueba a dos columnas
(tomada de Clemens et al., 1994, p. 301, Trad. PH)

 

Pruebas A Dos Columnas y la Lógica de la Práctica

Quien presencie una clase en la cual se construya una prueba a dos columnas probablemente tendrá la sensación de que hay algo más que decir acerca de esta forma de prueba -- algo que la descripción estática de su apariencia gráfica citada arriba no suministra. De hecho, el observador de tal clase podrá notar que, aparte de las diferencias en forma entre las pruebas a dos columnas y las pruebas geométricas que uno puede leer en los escritos de un matemático profesional (v.g., en Hilbert, 1899/1971), también hay diferencias notables en contenido (qué puede enunciarse, qué puede omitirse, qué debe enunciarse, cómo debe enunciarse, etc.). De modo que si bien comienzo mi argumento interpelando a la forma de prueba a dos columnas (como una suerte de enemigo imaginario), el argumento apunta a las interacciones recíprocas entre forma y contenido que se dan lugar en la lógica de la práctica de la enseñanza de la geometría. Vygotsky nos ha hecho dar cuenta del papel fundamental que juegan las herramientas y los signos en dar forma a la acción humana, como lo cita Wertsch (1991):

Al estar incluida en el proceso del comportamiento, la herramienta psicológica altera todo el flujo y la estructura de las funciones mentales. Hace ésto mediante la determinación de la estructura de un nuevo acto instrumental, tal como una herramienta técnica altera el proceso de adaptación natural mediante la determinación de la forma de las operaciones del trabajo. (pp. 32-33, Trad. P.H.)

Si la forma de prueba a dos columnas es una de esas herramientas técnicas en la práctica de la enseñanza de la geometría (en los Estados Unidos), es razonable preguntarse de qué manera su presencia en la práctica da forma al (y se forma con) el conocimiento que está en juego en la práctica.
   Tal como ocurre con la exposición de cualquier demostración matemática, las prácticas originales y los roles de los agentes involucrados en la producción de la prueba se mantienen ocultos, y en lugar de ellos se manifiesta una práctica textual regulada por una economía de la comunicación diferente. En el caso de la forma de prueba a dos columnas, la organización gráfica de esta práctica textual ofrece una forma de razonar en pequeños trozos la cual a su vez permite una reconstrucción ficticia de la producción de la prueba -- reconstrucción orientada hacia un lector en particular. Lo que se muestra puede leerse casi como un catecismo -- una sucesión uniforme de "(Afirmo que) por (tal razón)." El argumento matemático puede ser o no ser procedente, pero ciertamente puede ser seguido, dado que las razones imponen una métrica uniforme que determina qué es una lista de enunciados aceptable (o completa): El enunciado que sigue a uno dado debe estar siempre a una razón de distancia. Por consiguiente, la prueba se puede inspeccionar a lo largo de una sucesión de puntos de control -- cada renglón de la prueba -- y puede ser controlada en lo que atañe al apareamiento adecuado de enunciados y razones -- independientemente de la pertinencia estratégica de los mismos en el argumento en general. Así, una prueba puede ser rechazada debido a que luego de un determinado paso, las cosas "empezaron a salir mal," lo que también implica, sin embargo, que lo que sea que fuera hecho antes de aquel paso puede servir, dado que la prueba había estado bien hecha hasta ese momento.
   Aquello puede ocurrir con las formas convencionales de escribir demostraciones matemáticas; la prueba a dos columnas es una forma institucional de coerción sobre los participantes que sirve para asegurar que aquello de hecho ocurra. La forma de prueba a dos columnas funciona como la indicación implícita "muestre su trabajo" funciona en el caso de la "división larga" (en la escuela primaria, en los Estados Unidos de América; veáse la Figura 2). Para que se le reconozca su trabajo en un ejercicio de división larga, el estudiante debe anotar todos los productos parciales (v.g., 56 o 84) y realizar explícitamente las sustracciones: En particular, esos pasos trazan la aparición de los dividendos parciales (v.g., 98 o 144), y así legitiman la presencia de éstos. En la práctica de la división larga, la presencia de todos los pasos en el papel trabaja en solidaridad no sólo con la adquisición de destreza procedimental por parte del estudiante, sino también con la habilidad del docente para controlar el aprendizaje del procedimiento, y con la identificación del conocimiento en juego por parte del docente (conocer la división quiere decir saber cómo dividir).

Una división larga. Figure 2.

Así como el procedimiento de la división larga cumple con el propósito de encontrar un cociente y un resto, la forma de prueba a dos columnas cumple con la tarea de proveer una demostración. Pero este tipo de pruebas no se ofrece en realidad a una comunidad cuyo propósito es comprender o validar una proposición (Balacheff, 1987, p. 147). Más bien, tal como la división larga con todos sus productos parciales y sustracciones, las pruebas a dos columnas se ofrecen al docente, cuyo propósito no es ni convencerse de la validez de la proposición ni ser iluminado por las ideas presentes en la prueba. El propósito del docente no es siquiera regocijarse en la elegancia del argumento, sino meramente controlar el grado según el cual la sucesión esperada de pasos ha sido cubierta para cada ejercicio de prueba.    Las pruebas a dos columnas no cumplen en la clase de matemáticas el rol que la demostración matemática cumple en la comunidad de los matemáticos. Más bien, una prueba a dos columnas es un ejercicio de rutina cuyo propósito es reproducirse a sí mismo (es decir, los docentes hacen algunos de aquellos para mostrar a los estudiantes cómo se hacen demostraciones, y los estudiantes hacen algunos de aquellos para aprender a hacer demostraciones).

El "aprendizaje de la demostración" se puede perfeccionar gracias a que la forma de prueba a dos columnas permite operacionalizar la demostración mediante pequeños ajustes (búsqueda de un enunciado "intermedio," búsqueda de la razón "correcta," etc.). Sin embargo, la transferencia del saber adquirido mediante una demostración a otras situaciones que requieran el funcionamiento de ese saber puede ser un asunto completamente diferente del saber "cómo hacer" la prueba&emdash;comparable con el hecho de que los estudiantes sepan realizar el procedimiento de la división larga no parece asegurar que comprendan el significado de la división. (Véase Schoenfeld, 1988, especialmente el problema de los buses en la p. 150, y los problemas de demostración y construcción en las páginas 152-158).

Dada la feliz circunstancia de que la retórica norteamericana en educación matemática vuelve a conceder importancia a la demostración (see Kilpatrick, 1997; Wu, 1997; Ross, 1998; NCTM, 1998, pp. 80-85), parece apropiado considerar ciertos aspectos de las nociones de prueba, prueba formal, prueba a dos columnas, argumentación, etc. Mi objetivo no es solamente indicar que la demostración en matemáticas no se reduce al uso de la prueba a dos columnas. Esa afirmación es casi un lugar común y, de hecho, los NCTM Standards (1989) ya la sacaron a la luz cuando recomendaron que se diera más atención a "argumentos deductivos expresados oralmente y en párrafos" (p. 126, Trad. P.H.) y que se diera menos atención a las "pruebas a dos columnas" (p. 127). El objetivo de este artículo es describir el papel que formas tales como la de la prueba a dos columnas han jugado en la práctica de la enseñanza de la geometría, en particular dando forma a las concepciones vigentes de geometría, razonamiento, y demostración. Tal descripción puede proporcionar elementos para una crítica a una creencia que está al alcance de la mano y es, sin embargo, objetable: La creencia de que el uso de la forma de prueba a dos columnas en la clase de matemáticas puede proveer a los estudiantes experiencias con el rigor y el formalismo matemáticos que caracterizan parte de la actividad de los matemáticos profesionales.
   Por una parte, el mandato cultural de que las matemáticas escolares deben tener como meta la reproducción de las condiciones de producción del conocimiento matemático implica que la escuela debe proporcionar a los estudiantes oportunidades de aprender a demostrar, de estudiar demostraciones culturalmente relevantes, y de familiarizarse con el significado de la demostración en la construcción y la validación del conocimiento matemático. Por otra parte, el aprendizaje de las matemáticas es más probable que sea significativo para los estudiantes si tiene lugar en en el contexto de prácticas que se parezcan a aquéllas de producción del conocimiento matemático. Partiendo del hecho de que el rigor y el formalismo sirven al matemático no solamente para validar sino también para construir el conocimiento, el rigor y el formalismo son ingredientes naturales de las prácticas en las cuales los estudiantes pueden construir las matemáticas significativamente. El Borrador de los Standards 2000 afirma:

Debe enfatizarse que la exploración, la conjetura, la representación, y la demostración son aspectos del pensamiento matemático estrechamente conexos entre sí. "Razonamiento" y "Demostración" no deberían considerarse como separables del resto de la actividad matemática. (NCTM, 1998, p. 85, Trad. PH)

Considerando las acostumbradas simplificaciones de la retórica educativa, parece importante notar que un mayor énfasis en argumentación y demostración es efectivamente consistente con el proyecto de proporcionar a los estudiantes oportunidades de participar en prácticas matemáticas más productivas que restrictivas. Pero ese mayor énfasis recomendado no equivale a recomendar que se enseñe explícitamente la forma de prueba a dos columnas (ni ninguna otra "forma" de prueba) ni tampoco proporciona garantías de que el uso de la forma de prueba a dos columnas proporcionará experiencias con el rigor y el formalismo matemáticos.
   Como un primer paso hacia desarrollar un argumento más general acerca de las relaciones entre demostración, formalismo, y argumentación, la versión completa de este artículo (Herbst, 1999) expone algunas conjeturas relacionadas con las circunstancias históricas que dieron forma al uso de las pruebas a dos columnas en la historia de la enseñanza de las matemáticas en Estados Unidos. El papel de las pruebas a dos columnas en las prácticas de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas ha evolucionado en estrecha interacción con otros objetos del discurso, notablemente demostración, geometría, y razonamiento. Las características especiales de esas interacciones dan cuenta (al menos parcialmente) de la supervivencia de la forma de prueba a dos columnas y de las posibles asociaciones con el rigor y el formalismo que aquí se intentan deconstruir.
   Los primeros capítulos de una historia de la demostración en la escuela secundaria estadounidense se encuentran en el estudio de la geometría. La versión completa de este artículo traza los cambios en la noción de (lo que se entendía por) estudiar geometría y utiliza esos cambios como testigos de los cambios en las concepciones de demostración, razonamiento, y geometría propiamente dicha. Las razones de la supervivencia de la forma de prueba a dos columnas deben buscarse no en las circunstancias de su origen puntual (quién la inventó y cuándo) sino en las características intrínsecas de las prácticas a las que vino a servir y de las prácticas que su presencia hizo posible. Las siguientes afirmaciones se apoyan en la búsqueda histórica documentada en la versión completa del artículo.

Algunas Comentarios Sobre la Forma de Prueba a Dos Columnas

Con base en episodios de escritura de demostraciones observados en clases ordinarias de escuela secundaria, he observado (en Herbst, 1998, pp. 239, 271) que la forma de prueba a dos columnas funciona en concierto con una clara división del trabajo discursivo entre el docente y el alumno. Esa forma de prueba proporciona a los docentes un criterio implícito según el cual ellos pueden decidir qué puede decirse (y por lo tanto deja sin cuestionar el control sobre operadores epistémicos como saber, necesitar, poder decir, etc.). La forma de prueba a dos columnas hace responsable a los alumnos de producir una lista de enunciados "categóricos" sobre una figura dada, y a la vez reserva para el docente la decisión de si la lista de enunciados producida constituye un argumento válido.
   Esas observaciones pueden aclarar porqué la forma de prueba a dos columnas parece adaptarse mejor a la lógica de la práctica de la enseñanza de la geometría que otras formas (menos reguladas) de argumentación. Desde el punto de vista del docente, esta forma de prueba es una herramienta eficiente para asegurar y controlar la producción de una prueba aceptable por parte del alumno. Desde el punto de vista del alumno, esta forma de prueba no hace a éste responsable de la construcción o de la explicación de los objetos de conocimiento geométrico ni tampoco de la manufactura del argumento. En lugar de ello, esta forma de prueba requiere del alumno la producción de observaciones empíricas acerca de la figura en cuestión.
   La forma de prueba a dos columnas también limita qué puede ser demostrado, en el sentido de que apoya una concepción particular de la geometría. Las pruebas a dos columnas funcionan mejor dentro de una geometría concebida como el estudio de figuras que ya han sido construidas y que son siempre construibles. El estudio de la geometría concebida de esa manera es un estudio descriptivo gobernado por una lógica general que enfatiza las conexiones lógicas entre propiedades asumidas como hechos. Más claramente, la geometría euclidiana es sin duda aquéllo, pero necesariamente mucho más que aquéllo. Las prácticas que se desenvuelven alrededor de la forma de prueba a dos columnas parecen desestimar una concepción complementaria de la geometría que fuera central en los Elementos de Euclides y en las ideas de la geometría griega (Caveing, 1990): La geometría es también el estudio de las condiciones que determinan que una figura sea construible. En el estudio de la geometría concebido de esta última manera, las conexiones lógicas entre enunciados son ponderadas en relación a la fuerza sustantiva de cada conexión: Lo que hace que una afirmación sea valiosa no es solamente el hecho de que una prueba existe sino también el hecho de que sin una prueba es imposible saber si la afirmación es verdadera (dada la distancia entre la hipótesis y la conclusión). Considerando que la práctica de las pruebas a dos columnas necesita de una figura dada y de enunciados que afirmen lo dado y lo que se debe probar, la concepción de geometría como el estudio de las condiciones necesarias y suficientes es descuidada (y por lo tanto uno puede entender porqué los estudiantes proceden mediante ensayo y error en problemas de construcción luego de haber probado un enunciado que implica un procedimiento racional de construcción -- véase Schoenfeld, 1988).
   La forma de prueba a dos columnas limita también la concepción de demostración y el sentido de la actividad de demostrar en matemáticas. Mediante aislar la fuente de los enunciados formulados de los argumentos que se producen a propósito de esos enunciados, esta forma de prueba insiste en el rol de la prueba como un método de certificación, separado de la búsqueda del conocimiento o de la construcción racional de los objetos del conocimiento matemático. Al producir esa distancia entre el enunciado y su prueba y a la vez permitir el control pormenorizado de los enunciados que conforman la prueba, la forma de prueba a dos columnas detiene la dialéctica entre formulación y validación descrita por Lakatos (1976; véase también Balacheff, 1991) y la tensión subyacente entre el interés por saber y la validez de lo que se sabe.
    Como consecuencia de los comentarios precedentes, se puede afirmar también que las prácticas asociadas a la forma de prueba a dos columnas eluden las características epistemológicas del razonamiento matemático. Aquellas prácticas reducen el razonamiento matemático a una actividad que involucra la psicología de los agentes del razonamiento y el lenguaje "natural" con el que éstos se relacionan con el universo matemático "dado." El razonamiento matemático se convierte así en nada más que razonamiento lógico (en general) aplicado a objetos matemáticos cuyas condiciones de existencia se asumen sin cuestionarse. Por supuesto, el razonamiento matemático ciertamente involucra razonamiento lógico, pero lo que presenta problemas es la exclusión de un aspecto epistemológico específico, propio de los objetos matemáticos con los cuales se razona y acerca de los cuales se razona. Al identificar la precedencia lógica de las "razones" con la precedencia temporal de ellas en el texto que se estudia, el razonamiento matemático se convierte en más una actividad de describir un universo matemático "dado" que en una actividad de construir (o matematizar) un universo matemático "posible." Ciertas consecuencias de este argumento se pueden anticipar a propósito del valor de las matemáticas en la educación en general y de la naturaleza de la transferencia (de las matemáticas que se estudian a otras situaciones de interés; véase Judd, 1928; Skovsmose, 1992; Vygotsky, 1934/1986, pp. 146-209): El razonamiento matemático se vuelve apropiado para razonar acerca de objetos que son puramente matemáticos o que han sido matematizados en otra parte (por ejemplo los objetos de las ciencias duras), pero se percibe como poco apto para razonar acerca de otros objetos (como aquellos de las ciencias blandas o los de la vida cotidiana) más alla de las apariencias. Mediante la identificación del razonamiento matemático con el razonamiento lógico acerca de objetos que son de entrada matemáticos, la forma de prueba a dos columnas colabora en detener la dialéctica científica entre empiricismo y racionalismo necesaria para la construcción de objetos matemáticos de discurso (véase Skovsmose, 1992, p. 6).

A Modo de Conclusión

La versión completa de este artículo (Herbst, 1999) ha presentado algunas conjeturas relacionadas con las circunstancias históricas que permitieron a la forma de prueba a dos columnas emerger y perdurar durante la primera mitad de este siglo en los Estados Unidos. La forma de prueba a dos columnas en sí misma no permaneció inmutable, sino que se ajustó a las características cambiantes de la lógica de la práctica a la que vino a serivir. Asumiendo que esas conjeturas históricas son plausibles, he elaborado la afirmación de que la interacción entre esas variadas formas de la prueba a dos columnas y las condiciones cambiantes del estudio de la geometría han contribuido significativamente en dar forma a una concepción de la geometría escolar como el estudio descriptivo de las figuras, una concepción de la demostración como sólo un método de certificación del saber, y una concepción del razonamiento matemático como solamente razonamiento lógico aplicado a objetos matemáticos "dados."
   Estos efectos plausibles, y no la forma fisica de las pruebas a dos columnas son lo realmente interesante: Como puede observarse, los libros de texto vigentes muchas veces inducen a los estudiantes a escribir pruebas usando otras formas además de la de dos columnas (por ejemplo, pruebas en párrafos o en diagramas de flujo; véase Rubinstein et al., 1995, p. 396) pero lo que se ha dicho acerca de la forma de prueba a dos columnas podría igualmente decirse acerca de la enseñanza explícita de formas alternativas de prueba.
   Desde el punto de vista de quien lee una prueba a dos columnas, el producto final parece ser un argumento que prueba la proposición enunciada. Un examen más detenido muestra que su producción puede no tener más sentido que la producción de los protocolos usados por abogados o notarios, y por cierto la división del trabajo que produce la prueba no se parece a la división del trabajo entre un grupo de matemáticos produciendo un argumento matemático. Las pruebas a dos columnas pueden llamarse pruebas formales, pero su formalismo tiene poco que ver con el rigor y el formalismo productivos que ayudan a los matemáticos a aumentar el conocimiento humano de las matemáticas (Thurston, 1995). Formas de prueba como la forma de prueba a dos columnas juegan un rol importante en la lógica de la práctica de la enseñanza de la geometría, pero no necesariamente proporcionan a los alumnos experiencias con el rigor y el formalismo matemáticos.

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