Intuizione e dimostrazione:
riflessioni su un articolo di Fischbein

Alcuni anni fa E. Fischbein (1982) pubblicava un articolo intitolato "Intuition and Proof": le sue riflessioni sul pensiero intuitivo fornivano il quadro di riferimento ai risultati di una ricerca sperimentale sul tema della dimostrazione. Nello spirito di quella discussione intendo sviluppare qualche idea su questo stesso tema.

Credo che l'insegnamento più importante che Efraim Fischbein ci ha lasciato sia il suo approccio originale ai problemi dell'educazione matematica, centrato sulla complessa nozione di "intuizione". Il suo libro "Intuition in science and Mathematics" (1987) presenta una sintesi di questo approccio: in esso è delineata una "teoria dell'intuizione", che viene offerta alla comunità dei ricercatori come strumento utile per l'interpretazione di molteplici fenomeni didattici.

Come sarebbe inconcepibile una teoria vuota di significato intuitivo, altrettanto inconcepible è pensare la matematica spogliata della sua sistemazione teorica: assiomi, definizioni e teoremi costituiscono la matematica tanto quanto le sue idee ed i suoi modelli. Ma teoria ed intuizione molto spesso vengono a trovarsi in conflitto e risultano difficili da riconciliare. Talvolta, concezioni contraddittorie possono trovare un compromesso e fondersi in una nuova concezione. Un esempio classico è dato dalla nozione di infinito (Fischbein et al., 1979): la rappresentazione dinamica dell'infinito può essere considerata un compromesso tra la struttura finitistica dei nostri schemi intellettuali e l'infinto come formalmente inteso. Ma non sempre i compromessi risultano vincenti, cosicché sembra più appropriato cercare un'armonizzazione.
   La necessità di un'armonia tra intuizione e teoria matematica si presenta come problema centrale dell'educazione matematica; fondamentali contributi per questo difficile compito vengono proprio da quelli studi che mettono in evidenza discrepanze e conflitti e ne svelano le origini profonde.

Approccio empirico e approccio formale

I teoremi possono essere considerati particolari prodotti del processo di acquisizione della conoscenza matematica, ne costituiscono gli elementi base, in quanto conoscenza organizzata in teoria. Oltre all'acquisizione diretta di informazione, legata soprattutto all'evidenza fattuale, ottenuta attraverso l'esperienza, la cultura ha sviluppato un modo complesso di ottenere informazioni e conoscenza; tale modo non è diretto, piuttosto si presenta come mediato da mezzi quali il linguaggio, la logica ed il ragionamento. Come conseguenza di questa mediazione, si è spezzata l'unità strutturale tra cognizione e reazioni adatttive: "Conoscere attraverso il ragionamento, diventa un tipo di attività relativamente autonomo, non direttamente subordinato alle necessità di adattamento tipiche degli essere umani" (ibid., p.15). In particolare, avviene una differenziazione cruciale tra verifica empirica e deduzione logica: il loro rapporto diventa molto problematico.

Il confronto tra valutare la verità in termini di verifica fattuale e la validità logica in termini di inferenza deduttiva porta a considerare l'effetto di una conferma fattuale sulla validità di un enunciato; naturalmente si possono descrivere attitudini diverse a seconda che si tratti di un approccio empirico o di un approccio teorico: nonostante che una prova formale conferisca una validità generale ad un enunciato matematico, talvolta sembrano desiderabili ulteriori controlli a conferma di tale validità (Fischbein, 1982).
   Dunque, la discrepanza tra verifica empirica - tipica del comportamento comune - e il ragionamento deduttivo - tipico di un comportamento teorico - diventa fonte di difficoltà, un ostacolo alla comprensione stessa del senso di dimostrazione.
   Nella pratica scolastica, è molto comune confondere questi due punti di vista, con il risultato di disorientare gli studenti; gli 'esempi' giocano un ruolo fondamentale nello stabilire gli assiomi e nello "scoprire" i teoremi, ma il loro uso è interdetto quando si richiede di dimostrare un enunciato: uno o più esempi non sono accettabili come "dimostrazione". Per non parlare del ruolo dei contro-esempi: un solo esempio può invalidare un teorema.
   In realtà, la relazione, cruciale per la matematica, tra verità empirica e validità logica, è complessa e delicata e sarebbe compito dell'educazione svilupparla.
   Il senso del dimostrare è molto lontano dal senso comune. Anche se nella storia è possibile trovare casi di matematici che non riuscivano ad accettare un enunciato, benché ne accettassero la dimostrazione -- Cantor è forse uno dei più famosi --, generalmente un matematico di fronte ad un teorema dimostrato prova è un sentimento di validità generale; ma questa sensazione è nuova e 'strana' rispetto all'attitudine naturale della nostra mente.

Intuizione e teoria

Un'analisi più attenta della relazione tra l'approccio intuitivo e quello teorico porta a considerare il problema della dimostrazione in modo più globale, richiamando la nozione di Teorema (introdotta in Mariotti et al. 1997) come unità tra enunciato, dimostrazione e teoria.
   L'analisi della relazione tra teoremi (enunciato, dimostrazione e teoria) ed intuizioni può seguire due direzioni tra loro opposte.

• Da in lato, un enunciato esprime la relazione implicita tra i principi, assunti nella teoria, e la tesi del teorema, una volta che si tenga conto delle condizioni fissate dalle ipotesi.
     Un primo passo verso la costruzione di un'argomentazione consiste nel rendere esplicita questa relazione, che a livello intuitivo resta del tutto implicita, ma è solo nel quadro di una teoria che tale argomentazione può diventare una dimostrazione.
• D'altro lato, un teorema rappresenta un pezzo di sapere e come tale l'allievo deve appropriarsene; in altri termini, perché un teorema possa essere reimpiegato produttivamente in un ragionamento deve acquisire lo status di un'intuizione; questo è possibile solo se viene ristabilita l'unità - la fusione - tra enunciato e dimostrazione, artificialmente separati: enunciato e dimostrazione devono condensarsi in un'intuizione (Fischbein, 1982).
     In altri termini l'unità tra enunciato e dimostrazione non deve essere spezzata: il processo di analisi che ha portato alla dimostrazione deve essere ricomposto in un'unità, solo questo permette di raggiungere l'immediatezza necessaria ad un pensiero produttivo.

Per quanto riguarda i teoremi, l'intuizione si trova differentemente coinvolta in rapporto sia all'enunciato che alla dimostrazione :

- verità dell' enunciato
- la struttura della dimostrazione: la necessità della relazione logica tra i singoli passi della dimostrazione.
- la validità generale dell'enunciato come una necessità imposta dalla dimostrazione.

L'articolazione tra il primo ed il secondo livello rappresenta un nodo cruciale nell'elaborazione della dimostrazione: l'incertezza può muovere la ricerca di motivazioni e iniziare un processo argomentativo.
   Il secondo livello rappresenta lo snodo tra il primo ed il terzo; infatti, cogliere la struttura logica della dimostrazione corrisponde ad inserire l'enunciato nel sistema coerente di intuizioni che possono garantirne l'evidenza, la necessità e la completa accettabilità. Raggiungerà così lo status di "convinzione"("cognitive belief", Fischbein, 1982, p. 11).
   In ultima analisi, si permetterà ad un teorema, inteso come unità tra enunciato e dimostrazione, di condensarsi in una nuova intuizione e di diventare uno strumento intellettuale produttivo.

" [...] La forma logica di necessità che caratterizza la concatenazione strettamente deduttiva di una dimostrazione matematica può accompagnarsi ad una forma di struttura interiore di necessità, caratteristica di un'accettazione intuitiva. " (Fischbein 1982, p. 15)

E' interessante osservare che la descrizione di un processo simile può essere trovata in Descartes:

Hoc enim fit interdum per tam longum consequentiarum contextum, ut, cum ad illas devenimus, non facile recodermur totius itineris, quod nos eo usque perduxit; ideoque memoriae infirmitati continuo quodam cogitationis motu succurrendum esse dicimus. [...] Quamobrem illas continuo quodam imaginationis motu singula intuentis simul et ad alia transeuntis aliquoties percurram, donec a prima ad ultimam tam celeriter transire didicerim, ut fere nullas memoriae partes relinquendo; rem totam simul videar intueri. (Descartes, Regula VII)
[TRAD]

Implicazioni a livello didattico

Rispetto all'accettabilità di un'affermazione, basata si solito su una verifica fattuale, il senso della dimostrazione può dunque contrastare con il comportamento comune. La pratica scolastica sembra trascurare o almeno sottovalutare le difficoltà legate alla discrepanza tra comportamento pratico e comportamento teorico. Ciò spiega molti dei fallimenti dell'insegnamento tradizionale. A scuola tradizionalmente, gli studenti studiano teoremi che altri hanno prodotto e solo molto tardi nella loro carriera scolastica può accadere che incontrino il problema di produrre un teorema.
   Ma, al fine di costruire la complessa relazione tra atteggiamenti intuitivi e atteggiamenti teorici, sembra essere inutile la pratica scolastica che si limita al ripetere dimostrazioni che altri hanno prodotto, soprattutto se questo avviene per enunciati di per sé evidenti e che non richiedono alcuna giustificazione. In questo modo gli studenti non sono messi in grado di condividere un atteggiamento mentale corretto nei confronti di un teorema, può accedere così che, seguendo il senso comune, richiedano ulteriori esempi per confermare le proprie convinzioni oppure siano pronti ad accettare la possibilità di eccezioni; a questo proposito i risultati di Fischbein (1982) hanno trovato più di una conferma.

Aldilà delle possibili discrepanze tra approccio intuitivo ed approccio teorico, l'intuizione può costituire un ostacolo in sé: l'immediatezza di un enunciato può inibire il processo di analisi dei legami impliciti e di conseguenza inibire la costruzione della struttura analitica che costituisce la dimostrazione. In tal caso diventa impossibile capire il senso della dimostrazione perché auto-evidenza e immediatezza (il sentimento di certezza che caratterizza un'affermazione intuitiva) inibiscono qualsiasi forma di argomentazione, ovvero l'elaborazione di quella struttura analitica, "passo passo", che costituisce una dimostrazione; il processo è bloccato e con esso ogni accesso alla dimostrazione.
   Un suggerimento emerge chiaramente; l'introduzione degli allievi alla dimostrazione dovrebbe beneficiare di quelle situazioni in cui non si presenta immediata una soluzione evidente.
   Un punto fondamentale riguarda il processo di produzione dei teoremi, ed in questo caso il confronto con la pratica dei matematici è illuminante. Un matematico ha una esperienza diretta di produzione di teoremi, e può sempre trarre vantaggio da tale esperienza quando prende in considerazione un teorema, al contrario gli studenti non hanno tale opportunità.

Studi recenti (Boero et al., 1996, Bartolini, in stampa) confermano l'utilità di problemi aperti nell'introduzione precoce ai teoremi. Situazioni problematiche aperte possono generare quel senso di incertezza che richiede il ricorso a mezzi indiretti di acquisizione della conoscenza; particolarmente adatti sono quei problemi che richiedono direttamente la produzione di una congettura: il processo di produzione di una congettura sembra determinante per introdurre gli allievi all'argomentazione. Ma, fornire un'argomentazione non basta (Balacheff, 1987; Duval, 1992-93). L'unità tra enunciato, dimostrazione e teoria non deve essere spezzata e richiede di costruire la complessa relazione tra i principi stabiliti e le loro conseguenze (Mariotti et al. 1997). Conservare tale unità permette di mantenere il legame con il livello intuitivo, condizione fondamentale sia per una produzione autonoma di teoremi sia per l'uso produttivo di teoremi nel ragionamento matematico.
   Ancora una volta nasce una critica alla pratica scolastica tradizionale. Quando l'esperienza è limitata a teoremi "già pronti" (formulati e dimostrati da altri) il legame tra il teorema e la sua controparte intuitiva finisce per essere sottovalutato ed in definitiva ignorato. Naturalmente, dal punto di vista della logica formale, ogni teorema è completamente indipendente dalla propria interpretazione, di modo che può perdersi qualsiasi legame con l'intuizione, ma questa non può certo essere la prospettiva educativa.
   In generale, un punto fondamentale consiste nel superare i conflitti, costruire una relazione corretta tra intuizione e atteggiamento teorico; in altri termini, costruire una complementarità tra forme diverse di conoscenza, intuitiva e formale, non importa quanto distanti possano essere, con l'obiettivo di renderle due aspetti dello stesso comportamento mentale.

Fischbein ci ha insegnato a guardare con attenzione a conflitti, fenomeni di incongruenza, con lo scopo di individuarne le ragioni profonde, che ci indichino come superare gli ostacoli. L'educazione matematica ha come obiettivo l'armonia tra intuizione e teoria, ma avendo ben chiari i possibili ostacoli: per l'apprendimento in matematica, non c'è niente di più pericoloso che trascurare le profonde discrepanze tra pensiero spontaneo, talvolta senso comune, e pensiero matematico. Forse il caso della dimostrazione è esemplare, benché non il solo, la definizione infatti presenta problemi simili (Mariotti & Fischbein, 1997). In realtà, dimostrare è un'attività caratteristica del far matematica, ma nello stesso tempo è un'attività che differenzia sostanzialmente la matematica dal pensiero comune e dalla pratica della vita reale.

Referimenti bibliografici

Balacheff, N. (1987) Processus de preuve et situations de validation, Ed.St. Math.18, 147-76
Bartolini Bussi M., Boni M., Ferri F. & Garuti R. (in press), Early Approach To Theoretical Thinking: Gears In Primary School. Ed. St. Math.
Boero, P., Garuti, R. & Mariotti, M.A.(1996) Some dynamic mental processes underlying producing and proving conjectures, Proc. of PME-XX, Valencia
Descartes, R. Regulae ad directionem ingenii, Torino 1943.
Duval, R. (1992-93) Argumenter, demontrer, expliquer: continuité ou rupture cognitive?, Petit x , n° 31, 37-61.
Fischbein, E. (1982) Intuition and proof; For the learning of mathemarics 3 (2), Nov., 8-24.
Fischbein, E. (1983) Intution and analitical thinking in Mathematics Education, Z.D.M.2, 68-74.
Fischbein, E. (1987) Intuition in science and mathematics, Dordrecht: Kluwer
Fischbein, E., Tirosh, D. & Melamed, U. (1979) Intution of infinity, Ed.St.Math.10, 3-40.
Garuti, R.; Boero, P.; Lemut, E. & Mariotti, M.A. (1996) Challenging the traditional school approach to theorems: a hypothesis about the cognitive unity of theorems, Proc. of PME-XX, Valencia
Mariotti M.A. & E. Fischbein, (1997) Defining in classroom activities,Ed.St.Math., 34, 219-248
Mariotti M.A., Bartolini Bussi, M., Boero P., Ferri F., & Garuti R. (1997) Approaching geometry theorems in contexts: from history and epistemology to cognition, Proc. of PME-XXI, Lathi, pp. I- 180-95.

Note

"Ciò invero si fa talvolta mediante una così lunga concatenazione di conseguenze, che quando perveniamo ad esse, non è facile ricordarsi tutto il cammino, che ci ha condotto fin là; ed è per questo che noi diciamo doversi portare aiuto alla debolezza della memoria mediante un continuo movimento del pensiero. [...] Per cui io le percorrerò tante volte con una specie di movimento dell'immaginazione intuente, le singole cose e insieme trasferentesi alle altre, finché abbia imparato a passare dalla prima all'ultima tanto celermente, che quasi non lasciando nessuna parte alla memoria, mi sembri di intuire tutta la cosa simultaneamente." (Descartes, 1943, p.29-30). [BACK]

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