La intuición y la prueba:
Reflexiones sobre los aportes de Fischbein

Hace algunos años, en un artículo intitulado "Intuition and Proof," E. Fischbein (1982) presentó los resultados de un proyecto de investigación sobre la demostración dentro del marco teórico generado alrededor de sus reflexiones sobre el razonamiento intuitivo. A tono con aquella exposición, voy a desarrollar algunas ideas sobre el mismo tema.

Un legado importante que Efraim Fischbein nos ha dejado es ciertamente su enfoque original hacia los problemas educativos centrado en la compleja noción de intuición. La síntesis de este enfoque está contenida en su libro "Intuition in Science and Mathematics" (1987), donde se esboza una "teoría de la intuición" que se ofrece a la comunidad de investigadores como una herramienta útil para la interpretación de fenómenos en educación.

Así como no es posible concebir una teoría matemática sin sus significados intuitivos, tampoco es posible concebir a la matemática sin su organización teórica: axiomas, definiciones, y teoremas constituyen la matemática en igual medida que sus ideas y modelos. Pero la teoría y la intuición pueden ser extremos distantes y opuestos, difíciles de reconciliar. Algunas veces, concepciones contradictorias son acopladas para formar nuevas concepciones como soluciones de compromiso. Un ejemplo clásico es el de la noción de infinito (Fischbein et al., 1979): la representación dinámica del infinito se puede considerar como una solución de compromiso entre la estructura finita de los esquemas intelectuales y la definición formal del infinito propiamente dicho (Fischbein et al., 1987, p. 205). Pero estas soluciones de compromiso no siempre fructifican y, en lugar de soluciones de compromiso, se debe buscar soluciones que armonicen la intuición con el resto de la teoría.
   La necesidad de armonizar la intuición y las nociones matemáticas constituye una cuestión básica en educación. Una contribución a esta difícil tarea proviene de los estudios que se ocupan de conflictos y discrepancias, y detectan los orígenes de éstas y aquéllos.

Aproximaciones empírica y formal

Los teoremas constituyen las piezas básicas del saber matemático organizado en teorías específicas; aprender teoremas se puede considerar un producto particular del proceso de adquisición de conocimientos. Más allá de la adquisición directa de información, relacionada sobre todo con la evidencia factual obtenida a través de la experiencia, la cultura humana ha desarrollado una forma compleja de obtener información y conocimientos, la cuál no es directa sino mediada por medios como el lenguaje, la lógica, y el razonamiento. Como una consecuencia de esta mediación, la unidad estructural entre la cognición y las reacciones adaptativas se rompe: "Conocer a través del razonamiento se convierte en un tipo de actividad relativamente autónomo, no subordinado directamente a las necesidades de adaptación del comportamiento de los seres humanos" (ibid., p. 15). En particular, una diferenciación crucial ocurre entre verificación empírica y deducción lógica: las relaciones entre ambas resultan muy problemáticas.

La comparación entre la evaluación de la verdad en términos de verificación de los hechos y la validez lógica en términos de inferencias deductivas lleva a uno a considerar los efectos de una confirmación factual de la validez de un enunciado. Por supuesto, actitudes diferentes se pueden describir con respecto a una aproximación empírica y a una aproximación teórica: Mas allá del hecho de que una prueba formal confiere validez general a un enunciado matemático, controles posteriores parecen deseables con el fin de confirmar esa validez (Fischbein, 1982).
   De modo que la discrepancia entre la verificación empíricaætípica del comportamiento ordinarioæy el razonamiento deductivoætípico del comportamiento teórico, es una fuente de dificultades, un obstáculo para la comprensión del significado de la prueba.
   En la práctica educativa, es común confundir esos dos puntos de vista y, como consecuencia, desorientar a los estudiantes quienes ven los 'ejemplos' jugando un rol fundamental a la hora de establecer axiomas y 'descubrir' teoremas, pero los hallan prohibidos cuando se les pide que prueben un enunciado: uno o unos cuantos ejemplos no son aceptables como "prueba." ¿Y qué se puede decir sobre el rol de los contraejemplos? Un sólo ejemplo puede invalidar un teorema.
   En realidad, la relación entre verdad empírica y validez lógica, relación crucial en matemática, es una relación compleja y delicada que debe ser desarrollada a través de la educación.
   El significado de la prueba esta lejos de cualquier sistema ordinario de creencias. Si bien es posible encontrar casos históricos de matemáticos que no estaban del todo convencidos de la validez de un teorema a pesar de haber aceptado una prueba del teoremaæCantor es uno de los más famososæuna sensación general de validez es lo que un matemático percibe cuando un teorema ha sido probado; pero esa sensación es nueva y "extraña" con respecto a la actitud mental natural.

Intuición y teoría

Si uno considera cuidadosamente las relaciones entre las aproximaciones teórica e intuitiva, el problema de la prueba se puede ver dentro de un marco más general: es necesario reconocer la unidad entre enunciado, prueba, y teoría (véase la noción de teorema introducida en Mariotti et al., 1997). El análisis de las relaciones entre teoremas (enunciados, prueba, y teoría) e intuición puede emprenderse de acuerdo con dos direcciones opuestas.

• Por una parte, un enunciado expresa las relaciones implícitas entre los principios asumidos en la teoría y la tesis del teorema, bajo las condiciones establecidas en las hipótesis. Hacer explícitas estas relaciones, que son implícitas al nivel intuitivo (Fischbein, 1987, p. 50) constituye el primer paso hacia la construcción de un argumento, el cuál dentro del marco de una teoría, puede convertirse en una prueba.
• Por otra parte, un teorema representa un objeto de conocimiento, y como tal debe ser apropiado por quien aprende. En otras palabras, para poder ser usado productivamente al razonar, un teorema debe tener cierto status de intuición, pero ello solo puede ocurrir si la unidad æla fusiónæ entre el enunciado y la prueba, de momento separados artificialmente, es restaurada: el enunciado y la prueba deben condensarse en conocimiento intuitivo (Fischbein, 1982). En otras palabras, la unidad entre enunciado y su prueba requiere no ser quebrada: el proceso de analisis que lleva a la prueba debe ser recompuesto en una sola pieza para obtener la inmediatez que hace a aquella unidad productiva.

Para resumir, en lo que concierne al aprendizaje de teoremas, la intuición está manifiesta en formas diferentes al nivel de un enunciado y de su prueba:

- la verdad de un enunciado;
- la estructura de la prueba: la necesidad de las relaciones lógicas entre cada uno de los pasos de la prueba (o bien, la articulación lógica de los pasos de la prueba);
- la validez (generalidad) de los enunciados como una necesidad impuesta por la prueba.

La articulación entre el primer y el segundo nivel es una cuestión crucial en la elaboración de una prueba: la incertidumbre puede disparar la exploración de motivaciones e iniciar un proceso de argumentación.
   El segundo nivel es el encuentro entre el primer y el tercer nivel; en efecto, aprehender la estructura lógica de la prueba corresponde a insertar los enunciados dentro de un marco coherente de intuiciones que pueda garantizar la evidencia y la necesidad de los enunciados y lo aceptable del argumento general. De esa manera, se alcanza el status de "creencia cognitiva" (Fischbein, 1982, p. 11). Finalmente, se permite así a un teorema, en la unidad de su enunciado y su prueba, ser condensado en una nueva intuición para devenir un instrumento de producción intelectual.

La forma lógica de la necesidad que caracteriza la concatenación deductiva estricta de una demostración matemática es posible de mantener unida mediante una forma de necesidad estructural interna, la cual es característica de la aceptación intuitiva (Fischbein, 1982, p. 15).

Es interesante notar que la descripción de un proceso similar se puede ver en Descartes:

Hoc enim fit interdum per tam longum consequentiarum contextum, ut, cum ad illas devenimus, non facile recodermur totius itineris, quod nos eo usque perduxit; ideoque memoriae infirmitati continuo quodam cogitationis motu succurrendum esse dicimus. [...] Quamobrem illas continuo quodam imaginationis motu singula intuentis simul et ad alia transeuntis aliquoties percurram, donec a prima ad ultimam tam celeriter transire didicerim, ut fere nullas memoriae partes relinquendo; rem totam simul videar intueri. (Descartes, Regula VII)
[TRAD.]

Implicaciones didácticas

El significado de la prueba ciertamente puede estar en contraste con el comportamiento ordinario hacia la aceptabilidad de un enunciado basado en verificación factual. La práctica educativa parece negar consideración o al menos subvaluar las dificultades asociadas a la discrepancia entre comportamientos práctico y teórico. Ésto explica la mayor parte de los fracasos de la enseñanza tradicional.

En la enseñanza tradicional los estudiantes aprenden teoremas que otros produjeron y solamente muy tarde en su vida escolar, imitando los productos que ellos aprendieron, puede suceder que encuentren el problema de producir un teorema. Pero limitar la práctica educativa a repetir pruebas que otros produjeron, y hacer eso muy frecuentemente con enunciados que son obvios y no parecen requerir ninguna justificación, parece inútil si el propósito es construir las relaciones complejas entre las actitudes intuitiva y teórica.

De esa manera, los estudiantes pueden estar probando teoremas sin tener la actitud mental correcta hacia el status de aquellos; puede ocurrir que sigan el sentido común y requieran ejemplos suplementarios para corroborar su confianza en un teorema, aceptando de ese modo la posibilidad de excepciones. Los resultados comunicados por Fischbein (1982) se han verificado más de una vez.

Además de las discrepancias posibles entre las aproximaciones teórica e intuitiva, la intuición puede constituirse en obstáculo: cuando la inmediatez de un enunciado inhibe el proceso de análisis de las conexiones implícitas y por consiguiente la construcción de la estructura analítica que constituye una prueba. En tal caso, deviene imposible comprender el sentido de la prueba pues la evidencia y la inmediatez (la sensación de certeza que caracteriza a los enunciados intuitivos) inhibe cualquier clase de argumentación; es decir, inhibe la elaboración de la estructura analítica, "paso a paso," que constituye una prueba; el proceso se bloquea y lo mismo ocurre con el camino hacia la prueba.

Una idea surge inmediatamente: la introducción de los alumnos a los teoremas se debería beneficiar de aquellas situaciones en las cuales no aparecen soluciones evidentes.
   La cuestión básica concierne al proceso de producción de teoremas, y en ese caso la comparación con lo que es práctica corriente en la comunidad de los matemáticos nos sirve de ilustración. Un matemático vive directamente la experiencia de producir teoremas y siempre puede echar mano de aquella experiencia cuando se enfrenta al problema de probar un teorema. Los estudiantes no poseen las mismas experiencias.

Resultados recientes (Boero et al., 1996, Bartolini, en prensa) confirman que los problemas abiertos se adaptan muy bien para una aproximación temprana a la demostración de teoremas. Las situaciones abiertas pueden generar una sensación de incertidumbre que reclame medios indirectos para arribar al conocimiento; son particularmente valiosos aquellos problemas que requieren la producción de una conjetura. Más aún, el proceso de producción de conjeturas es determinante para introducir a los alumnos a la argumentación. Pero, proveer un argumento no es suficiente (Balacheff, 1987; Duval, 1992-93); la unidad entre enunciado, prueba, y teoría no debe romperse, requiriendo la construcción de relaciones complejas entre los principios enunciados y sus consecuencias (Mariotti et al., 1997). La conservación de aquella unidad permite mantener la conexión con el nivel intuitivo, condición básica para la producción autónoma de teoremas y para el uso productivo de esos teoremas en el razonamiento matemático.

Aquí una vez más surge una crítica a las prácticas educativas tradicionales. Cuando las experiencias se circunscriben a teoremas "enlatados" (enunciados y demostrados por otros) la conexión entre un teorema y su contrapartida intuitiva puede ser subestimada y aun desestimada. Por supuesto, desde el punto de vista de la lógica formal, cualquier teorema es completamente independiente de su interpretación, de modo que puede perder cualquier conexión con la intuición; pero ésa no debe de ser la perspectiva educativa.

Hablando en general, una cuestión principal es la de superar conflictos, construyendo una relación crrecta entre intuición y actitud teórica, es decir, una complementaridad entre formas de conocimiento diferentes, la intuitiva y la formal, tan distantes una de la otra tal vez, con el propósito que se conviertan en dos aspectos de un mismo comportamiento mental.

Fischbein nos enseñó a inspeccionar cuidadosamente los conflictos, los fenómenos incongruentes, con el propósito de descubrir razones profundas que pudieran indicar cómo superar obstáculos. La educación matemática pretende armonizar la intuición y la teoría, pero teniendo en mente los posibles obstáculos: no hay nada más peligroso para el aprendizaje de la matemática que soslayar las discrepancias entre el pensamiento espontáneo, o el sentido común, y el pensamiento matemático.    Puede ser que el caso de la prueba sea ejemplar, sin embargo no es el único; de hecho, las definiciones presentan problemas similares (Mariotti & Fischbein, 1997). En realidad, demostrar es una actividad característica del quehacer matemático, pero tambien una actividad que marca diferencias sustanciales entre la matemática y el pensamiento ordinario y las prácticas de la vida cotidiana.

Citas Bibliográficas

Balacheff, N. (1987) Processus de preuve et situations de validation, Ed.St. Math.18, 147-76
Bartolini Bussi M., Boni M., Ferri F. & Garuti R. (in press), Early Approach To Theoretical Thinking: Gears In Primary School. Ed. St. Math.
Boero, P., Garuti, R. & Mariotti, M.A.(1996) Some dynamic mental processes underlying producing and proving conjectures, Proc. of PME-XX, Valencia
Descartes, R. (1701/1964). Rules for the direction of the mind. In R. Descartes, Philosophical essays (pp.145-236; L. Lafleur, Trans.). Indianápolis: Bobbs-Merrill.
Duval, R. (1992-93) Argumenter, demontrer, expliquer: continuité ou rupture cognitive?, Petit x , n° 31, 37-61.
Fischbein, E. (1982) Intuition and proof; For the learning of mathemarics 3 (2), Nov., 8-24.
Fischbein, E. (1983) Intution and analitical thinking in Mathematics Education, Z.D.M.2, 68-74.
Fischbein, E. (1987) Intuition in science and mathematics, Dordrecht: Kluwer
Fischbein, E., Tirosh, D. & Melamed, U. (1979) Intution of infinity, Ed.St.Math.10, 3-40.
Garuti, R.; Boero, P.; Lemut, E. & Mariotti, M.A. (1996) Challenging the traditional school approach to theorems: a hypothesis about the cognitive unity of theorems, Proc. of PME-XX, Valencia
Mariotti M.A. & E. Fischbein, (1997) Defining in classroom activities,Ed.St.Math., 34, 219-248
Mariotti M.A., Bartolini Bussi, M., Boero P., Ferri F., & Garuti R. (1997) Approaching geometry theorems in contexts: from history and epistemology to cognition, Proc. of PME-XXI, Lathi, pp. I- 180-95.

Nota bene

"Porque a aquella [aceptación de verdades que no se deducen inmediatamente de los evidentes primeros principios] se puede a veces llegar a traves de tan larga cadena de inferencias que cuando hemos llegado a las conclusiones no recordamos tan fácilmente el procedimiento entero que nos condujo a aquéllas; y entonces decimos que deberíamos auxiliar a nuestra débil memoria mediante un proceso contínuo de pensamiento…. Por ello, he aprendido a considerar cada uno de estos pasos mediante un proceso contínuo de la imaginación, pensando en un paso y a la vez relacionándolo con los otros pasos. Y de esa manera avanzo del primero al último tan prestamente que sin dejar casi ninguna parte del proceso librada a la memoria, me parece que puedo aprehender toda la secuencia de una vez." (Descartes, 1964, p. 169, traducción del inglés P.H.) [BACK]

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