Septembre/Octobre 1998

 

Consolidación de la Demostración en Geometría Elemental
en el Cambio al Siglo XX

Michel Guillerault
Laboratoire Leibniz
Grenoble - France

 

Desde el fin del siglo XIX y al principio del XX, desde M. Pasch y sobre todo después de D. Hilbert (en Grundlagen der Geometrie, 1899), existe la preocupación de establecer la geometría sobre bases sólidas, y de ya no hacer más referencias implícitas a casos que pudieran presentarse de figuras particulares.
   En este artículo presentamos la contribución a este debate de un profesor de clases preparatorias a las "Grandes Écoles " francesas: Louis Gérard, profesor relativamente modesto, el cual al parecer actualmente se encuentra en el olvido. L. Gérard fué profesor en Lyon y después en Paris, especialista en geometría no-euclidiana (Tesis, 1892), estuvo muy preocupado por presentar los teoremas de geometría elemental de la manera más rigurosa posible. En particular, L. Gérard fué promotor infatigable de la noción de ángulos entre rectas orientados, noción que permite dar a numerosas proposiciones de geometría un caracter absolutamente general, independiente de los casos de figuras en consideración. Gérard fue redactor del Bulletin de Sciences Mathématiques et Physiques, publicó numerosas notas al respecto y es autor (con exepción de una sola) de todas las citas que siguen a continuación.

Durante siglos, más o menos siendo fieles al texto inicial, la obra de Euclides ha servido de modelo para la enseñanza de la geometría elemental. Cada autor de manual se sentía inclinado a respetar la división general en Libros de Los Elementos, y al interior de cada libro, la disposición y la formulación de diferentes resultados o teoremas, mismo si se daba el caso de agregar comentarios más o menos originales al texto. En particular, eran relativamente raros los autores que se permitían agregar complementos que contenían casos de figuras olvidadas o dejadas al margen por Euclides.

No hay que dejarse de repetir que el principal defecto de las demostraciones seculares es que dejan de lado las relaciones de situación y que estas relaciones son frecuentemente más difíciles a demostrar que el teorema en cuestión, de manera que es más facil encontrar una nueva demostración que corregir la antigua. (B.M.E., 6, 1901, p. 132).

Para establecer las propiedades del paralelogramo, se admite implícitamente que dos vértices opuestos están situados uno en una parte, y el otro en la otra, de la diagonal que une los otros dos vértices; los estudiantes estarían, yo creo, fuertemente impedidos si se les pidiera dar una demostración precisa. (B.M.E., 6, 1901, p. 132)

Es así como en la proposición 20 del Libro III, Euclídes demuestra que el ángulo central es el doble del ángulo inscrito correspondiente (para un ángulo inscrito agudo), considerando dos casos:

 

A la izquierda, el punto D diametrálmente opuesto a A está sobre
el arco `pequeño´ BC, a la derecha, el punto D está sobre el arco `grande´ BC.

 

Ciertos comentaristas (desde Clavius en el siglo XVI, hasta el final del siglo XIX) agregan el caso de una tercera figura (el punto D sobrepuesto en B o C), pero no se dice ninguna palabra de lo que puede pasar si el ángulo inscrito es obtuso. Dicho de otra manera, si bien en los Elementos un ángulo bien puede ser tanto águdo como obtuso, cuando se llega a la proposición III, 20, es de rigor una restricción totalmente implícita, sin que esto parezca, por otro lado, causar dificultades a nadie al paso de los siglos.

Pasando de ahí al teorema sobre el cuadrilátero inscrito ( condiciones para que cuatro puntos estén sobre un mismo círculo), los autores se contentan de hacer intervenir la noción de arco "capaz" (capable), o de igualdad de dos ángulos que subtienden el mismo arco. Es de remarcar, por supuesto, desde Euclídes (III, 22) que los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito sean suplementarios (¡y no iguales!), pero cada vez que en una demostración de un resultado nuevo interviene la propiedad del cuadrilátero inscrito, se razona sobre el caso de la figura presentada, sin preocuparse de que sería necesario modificar en el caso de otra figura, o mismo, sin preocuparse de demostrar que el caso de la figura presentada existe verdaderamente.

En geometría elemental, no se considera ordinariamente más que el valor absoluto de los ángulos, sin tener en cuenta el sentido y sin distinguir el lado orígen del lado extremo. Resultan una multitud de complicaciones. Por ejemplo, si A, B, C, D son cuatro puntos de un mismo círculo, los ángulos ACB, ADB son suplementarios o iguales según que los puntos C y D sean o no de una parte o de la otra de AB. Así mismo, dos ángulos cuyos lados son paralelos o perpendiculares son ya sea iguales, ya sea suplementarios. Luego, en las cuestiones donde intervienen ángulos de esta naturaleza, sería necesario pasar revista a todos los casos posibles; esto se dispensa casi siempre y uno se contenta de examinar el caso de la figura que se tiene bajo los ojos. (B.M.E., 1, 1895, p. 1).

La consideración de la semirecta, o lo que viene a ser lo mismo, del sentido sobre una recta, es necesario solamente cuando hay que contar segmentos sobre esta recta; en todos los otros casos, esta consideración crea una dificultad que desaparece si se le atribuye al ángulo entre dos rectas enteras una cualidad nueva: el sentido, es decir, si se distinguen el uno del otro los dos lados del ángulo. Y así no hay más que una sola dirección de la recta, en lugar de dos, que hace con una recta dada un ángulo dado; la distinción entre la simetría en relación a un punto y la simetría en relación a una recta de un plano se precisa; el lugar de los puntos desde donde se ve un segmento de recta bajo un ángulo dado se compone ya no de dos arcos de circunferencia, sino de una sola circunferencia completa, resultado más conforme al cálculo, y, en seguida (o en consecuencia) desaparece la idea estrecha de segmento "capaz" de un ángulo dado. Los autores (B. Niewenglowski y L.Gerard) dan al mismo tiempo la condición necesaria y suficiente, independiente de las formas particulares de la figura, para que cuatro puntos esten sobre una misma circunferencia. (C. Michel, B.M.E., 5, 1900, p. 93).

Parecería que es en la Géométrie de J.Hadamard (1897) que el teorema sobre el cuadrilátero inscrito está dado bajo la forma necesaria y suficiente ahora clásica:

Si los cuatro puntos A, B, C, D están sobre una misma circunferencia, los ángulos de mismo sentido formados por las rectas AC, AD de un lado, BC y BD de la otra parte, son iguales (y recíprocamente) (Hadamard, Géométrie plane, 1897, pp.71-72).

En este texto no hace falta nada más que la notación (AC, AD) (utilizada por L. Gérard) y una enumeración de las propiedades de ángulo orientado entre rectas (relación de Chasles, pasaje al opuesto, etc....) para que se utilice esta noción en la resolución de problemas de geometría.

 

Ejemplo de la Demostración de la Propiedad llamada "de la Recta de Simson".

Una propiedad de geometría elemental consecuencia de la propiedad del cuadrilátero inscrito figura como ejemplo de aplicación o como ejercicio en la totalidad de manuales o cursos de geometría del siglo XIX (y también del siglo siguiente...). He aquí el enunciado:

Si se considera un punto M del círculo circunscrito a un triángulo ABC, las proyecciones ortogonales del punto M sobre los tres lados del triángulo son tres puntos alineados (siguiendo una recta llamada recta de Simson).

Esta propiedad no parece debida a Simson, sino a Wallace; sin embargo a pesar de los esfuerzos para promover la apelación "recta de Wallace" (ver, por ejemplo, Intermédiaires des Mathématiciens, años 1894 y 1895), los manuales antigüos o modernos hablan todos de la recta de Simson. Numerosas propiedades de geometría elemental utilizando la recta de Simson han sido descubiertas a lo largo de los años, formando si se quiere un verdadero capítulo de la geometría del triángulo. De cualquier manera, esta propiedad ha sido popularizada a principios del siglo XIX. He aquí por ejemplo una demostración clásica, que parece debida a Duhamel (hacia 1840):

 

Teorema de la Recta de Simson (Demostración Clásica (Duhamel?))
 

Ángulo 1: AQR Ángulo 2: AMR Ángulo 3: CQP Ángulo 4: CMP
Ángulo 5: ABC Ángulo 6:AMC Ángulo 7: RMP

 
Demostración:
1) El cuadrilátero AMQR es inscrito: los ángulos 1 y 2 son iguales.
2) El cuadrilátero CMPQ es inscrito: los ángulos 3 y 4 son iguales.
3) El cuadrilátero ABCM es inscrito: los ángulos 5 y 6 son suplementarios.
4)El cuadrilátero BMPR es inscrito: los ángulos 5 y 7 son suplementarios.
5) De 3) y 4), los ángulos 6 y 7 son iguales.
6) Se puede escribir que el ángulo CMR es igual a 2+6, y también a 4+7.
7) De 5) y 6), los ángulos 2 y 4 son iguales.
8) De 1) y 2), los ángulos 1 y 3 son iguales.
9) 1 y 3 siendo opuestos por el vértice, los puntos P, Q, R están alineados.

 

Todas nuestras obras, todos nuestros profesores en sus cursos, se creen obligados a reproducir, como modelo de análisis o de síntesis la demostración clásica (debida, yo creo, a Duhamel) del teorema relativo a la recta de Simson; esta demostración está lejos de ser simple, y tal cual está presentada, no prueba nada. (B.M.E., 4, 1899, p. 273).

Un razonamiento parecido es válido sólo para el caso de la figura considerada, y aún puede suceder que este caso pueda no presentarse si la figura que se ha trazado es falsa. En todos los casos, para ser rigurosos, sería necesario comenzar por buscar todos los casos de figuras posibles, lo que no parece cómodo en el caso actual. (B.M.E., 4, 1899, p. 293).

Muchos lectores me han escrito que la demostración clásica está sin duda incompleta, pero que "se siente" que en los casos de otras figuras se puede hacer una demostración análoga y que ello es suficiente. Ahí hay un error; si se quiere reforzar la demostración clásica, la dificultad consiste precisamente en encontrar todos los casos de figuras posibles. (B.M.E., 4, 1899, p. 273).

Es decir que si se busca efectivamente cuáles son las configuraciones posibles (en donde sólo una de ellas sirve de apoyo a la demostración clásica), hemos llegado a la consideración de las figuras siguientes. Para cada una de ellas la demostración se debe modificar (ángulos suplementarios en lugar de ser iguales, sobrepuestos u opuestos por el vértice, etc.,...).

 

Configurations de Simson

 

Manipular el punto M, con el fin de explorar las configuraciones de
Simson, en la construcción Cabri-Java de la figura ya mencionada.
(Contacto para el proyecto Cabri-Java:
Gilles Kuntz )

Para ver la imagen estática de las configuraciones de Simson, haga click aquí:

 

Además, las sumas de los ángulos considerados en el item 6 de la demostración clásica, deben ser algunas veces reeplazadas por diferencias, o bajo cualquier consideración, ser sometidas a la restricción clásica: la suma de dos ángulos no puede, si se quiere aún hablar de ángulos, ser superior a dos rectos (definición de Euclides de ángulo). Asímismo, las diferencias eventuales no deben conducir a ángulos negativos, lo que quiere decir que en una figura en donde se quiere que el ángulo B sea inferior al ángulo A (y en donde se considera enseguida la diferencia A-B), es necesario demostrar, precisamente, que en la figura del caso, se tiene B<A. Y esto se aplica, por supuesto, a todo lo que se ha visto sobre cada caso de figura particular.

L. Gérard da dos demostraciones de la propiedad de Simson, fundadas sobre el teorema del cuadrilátero inscrito enunciado en términos de ángulos orientados entre rectas (y entonces independientes de los casos de las figuras en consideración). La primera está calcada de la demostración clásica, la segunda es aún más simple:

A. Adaptación de la demostración "clásica":(cf. figura precedente)

El cuadrilátero AMQR es inscrito: (AC, QR) = (QA, QR) = (MA, MR).
El cuadrilátero CMPQ es inscrito: (AC, QP) = (QC, QP) = (MC, MP).
El cuadrilátero ABCM es inscrito: (BA, BC) = (MA, MC).
El cuadrilátero BMPR es inscrito: (MR, MP) = (BR, BP) = (BA, BC).
(MR, MC) = (MR, MA) + (MA, MC) = -(AC, QR) + (BA, BC).
(MR, MC) = (MR, MP) + (MP, MC) = (BA, BC) - (AC, QP).
(AC, QR) = (AC, QP).
Los puntos Q, P, R están alineados. 

B. Una demostración más simple:

El cuadrilátero AMQR es inscrito: (AM, AB) = (AM, AR) = (QM, QR).
El cuadrilátero CMPQ es inscrito: (CM, CB) = (CM, CP) = (QM, QP).
El cuadrilátero ABCM es inscrito: (AM, AB) = (CM, CB).
(QM, QR) = (QM, QP)
Los puntos Q, P, R están alineados.

 

Esta demostración parecerá más complicada que la demostración ordinaria, en donde se miden los ángulos por arcos de círculos; ella es, al contrario,incomparablemente más simple, porque, para llegar a medir ángulos, es necesario distinguir los casos diversos de las figuras posibles y, lo repito, aún restringiéndose al caso de la figura que se tiene bajo los ojos, sería necesario demostrar que este caso es posible: de otra manera, se llega a demostrar todo lo que se quiera. Es así que se demuestra, por un razonamiento muy conocido, que un ángulo agudo es un ángulo obtuso. (B.M.E., 4, 1899, p. 293).

Otras demostraciones son posibles, más modernas si se quiere, utilizando por ejemplo las propiedades de semejanza, sin embargo, fundamentalmente es siempre el teorema del cuadrilátero inscrito el que está en el orígen de la demostración.

C. Una demostración utilizando semejanzas:

 

Sea M un punto del plano. Existe una semejanza única f de centro M que hace pasar de AB a AC. La imagen de un punto N cualquiera de AB por esta semejanza es el punto N', intersección de AC y del círculo que pasa por A, M y N.
   Sea la proyección ortogonal de M sobre NN´; el triángulo MNH queda semejante a él mismo cuando N varía, luego H describe una recta (d) deducida de AB por una cierta semejanza. Se conocen de hecho dos puntos de esta recta, los puntos Q (cuando N está en A) y R (cuando N´está en A. La recta (d)es entonces la recta QR.
   Si M está sobre el círculo circunscrito a ABC, C es el transformado de B por la semejanza f y el punto H esta en P, proyección ortogonal de M sobre BC.
   Los puntos P, Q, R están entonces alineados.

 

Dejemos la palabra final, una vez más, a L. Gérard:

Cuando se comparan dos demostraciones, una general y otra relativa al caso de una sola figura, se está inclinado a encontrar la segunda más clara que la primera; pero después de reflexionar, se percibe que las expresiones, los detalles que habían parecido obscuros o raros en la demostración general son necesarios para contemplar tal o cual caso, al cual no se había puesto inicialmente atención. (B.M.E., 4, 1899, p. 273).

 

¿Reacciones?, ¿Observaciones?

La contribución de Michel Guillerault sera
publicada en la carta de Octubre/Noviembre.

© Michel Guillerault 1998

Traduciòn Veronica Hoyos Aguilar

Regreso a la gacetilla