Preuve Proof Prueba

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Mai/Juin 1997

 

El tema de la carta

Prueba y visualización

El tema de la carta tiene como objetivo estimular los intercambios con respecto a algunas preguntas de actualidad sobre el aprendizaje de la demostración en matemáticas. Esta carta no es una contribución avanzada, es solo una contribución modesta con el propósito y el lugar de la editorial. Son las cartas y contribuciones que enriquecerán el contenido y harán su substancia.

La idea que la utilización de las imágenes puede facilitar la presentación de una prueba en matemática es una idea antigua, es en el fondo la idea que lo concreto es más accesible que lo abstracto. Esta idea retoma interés en el mundo le la enseñanza de las matemáticas, en particular por el hecho de la aparición en informática de las realidades virtuales. Ademas, ¿no decimos que un buen diseño vale más que un discurso largo? Este apoyo del buen sentido esta reforzado por la atención de las matemáticas antiguas, particularmente orientales, en las cuales el diseño pudo jugar un rol esencial en la comunicación del saber. Pero, ¿es así de simple?, ¿la visualización es realmente un facilitador?

Ilustración Cabri-Java realizada por
Jean-Philippe Ibarlucia y
Gilles Kuntz

Una prueba visual y animada del teorema de Pytagoras :

En la figura de la izquierda, tome el punto M y desplácelo. Para "ver bien" las cosas, lo mejor es de desplazar el punto M describiendo un largo bucle en el sentido de las agujas del reloj.

La igualdad propuesta por el celebre teorema es verificado por la deformación continua de dos pequeños cuadrados para producir dos paralelogramos en los cuales la adhesión borde con borde y una nueva deformación continua conducirán a un gran cuadrado.
  Lo esencial, por supuesto, reside en la observación de las áreas. Pero la razón de esta conservación no esta "dada" por la representación observada, ella debe ser construida por la persona que examina la animación, quien debe invertir sus conocimientos para comprender en que es una prueba y cuáles son las fuentes de la validación de esa prueba : ver, es saber...
  
Una prueba visual sería entonces más simple que una prueba verbal. Si ella parece tener mas poder evocador, no debemos olvidar que esta llena de implícitos.
  Es una función esencial del lenguaje de perseguir los implícitos y de examinarlos de manera crítica, permitiendo asi de ver las articulaciones del razonamiento.

¿Que lugar se le debe dar a las pruebas llamadas visuales ?

  David Tall, en su contribución a esta pregunta, sugiere su interés en la perspectiva del movimiento, en el aprendizaje que va de lo concreto y de la manipulación a lo abstracto y a la enunciación. El indica el punto crucial que puede ser visto como la palanca para ir hacia pruebas verbales : " Difficulties occur when the enactive or visual form of the proof does not suggest an obvious sequence of deductions to use for a formal proof, so that the individual seems to 'know' that the theorem is true and yet has no method of proving it" (ibid.). El trabajo de Claude Tisseron, sur les fonctions polynomes du troisième degré es un ejemplo, probablemente reforzado, en el caso en donde el presenta la confianza que tienen los estudiantes en las imágenes producidas por las calculatrices y las computadoras.
  Si la expresión multimedia debe ser desarrollada en matemáticas, en ese caso puede que deberíamos crear útiles de análisis de imágenes, por ejemplo un lenguaje para explorarlas y para codificar la exploración, a la "window shoping" que Joel Hillel sugiere para el estudio de funciones con la interface de una computadora.
  Después de una década de descubrimiento de la potencialidad de la expresión visual en matemáticas, se puede sugerir para la década que viene una atención más grande a la complejidad de este uso y sus condiciones para aplicarlas en la enseñanza. Algunos autores han emprendido esa vía, como Raymond Duval que examina de manera avanzada los aspectos semioticos de la demostración y de la prueba en matemáticas.

¿Reacciones?, ¿Observaciones?

Las contribuciones a este tema serán publicadas en la carta de Julio/Agosto.

Regreso a la carta