Résumés des interventions au Séminaire National de Didactique des Mathématiques

 

Etude épistémologique et didactique de l’implication mathématique sous trois points de vue : raisonnement déductif, logique formelle et théorie des ensembles

Deloustal-Jorrand Virginie
IUFM d’Alsace, Erte Maths à Modeler

Mon intervention sera basée sur les résultats de ma thèse en didactique des mathématiques soutenue en décembre 2004 au laboratoire Leibniz de Grenoble, sous la direction de Denise Grenier et Charles Payan et intitulée « L’implication mathématique : étude épistémologique et didactique. Étude sous trois points de vue : raisonnement déductif, logique formelle et théorie des ensembles. Construction d’une situation didactique qui problématise l’implication. ».

L’implication est un concept omniprésent en mathématiques, puisque constitutif des preuves. Pourtant, l’implication, souvent identifiée à l’objet de la logique naturelle, n'est presque pas enseignée en tant qu'objet mathématique. Elle apparaît comme un objet transparent et facile à manipuler alors que de nombreux étudiants manifestent des difficultés qui lui sont reliées jusqu'en fin d’université.

Dans notre thèse, nous nous sommes posé les questions suivantes :

- Quel est l'objet mathématique « implication » ?
- Quelle est sa vie dans l'enseignement ?
- Comment construire une situation didactique qui problématise l'implication ?

En réponse à la première question, nous présenterons, une analyse épistémologique de l’implication mathématique dans trois cadres : logique formelle, théorie des ensembles et raisonnement déductif.

En réponse à la deuxième question, nous résumerons l’étude que nous avons menée sur la « vie » de l'implication, relativement à ces trois cadres, dans quelques manuels du collège à l'université.

Après avoir rappelé nos premiers résultats concernant notamment la conception causale-temporelle de l'implication, nous expliciterons notre thèse :

Il est nécessaire de connaître et d'établir un jeu dialectique entre les trois cadres, raisonnement déductif, logique formelle et théorie des ensembles pour une bonne appréhension et une bonne utilisation de l'implication. Nous soutenons que cette condition sur le jeu de cadre est aussi suffisante.

Pour apporter des éléments de réponse à cette thèse, nous exposerons les résultats de l’ingénierie didactique, destinée à des PLC2, que nous avons construite afin qu’elle permette de problématiser l'implication par un jeu sur ces trois cadres. Nous montrerons, en particulier, la pertinence du point de vue ensembliste pour travailler l'implication.

NB : Cette thèse peut-être téléchargée chapitre par chapitre sur la page : virginie.jorrand.com/these.htm

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Que peut apporter un point de vue modèle-théorique pour les travaux de recherche en didactique des mathématiques ?

Viviane Durand-Guerrier
 
  IUFM Lyon  LIRDHIST-UCBL Lyon 1

Selon Sinaceur (1991), la logique ne sert pas à fonder les mathématiques, mais contribue à les comprendre, jouant ainsi le rôle d’une « épistémologie effective orientée vers l’agir ». Ce point de vue est conforté par un certain nombre de résultats issus de mes propres travaux concernant la place et le rôle de la logique pour analyser les énoncés et les raisonnements mathématiques.

Dans la première partie de cette communication, j’examinerai dans un certain nombre de travaux de recherches en didactique des mathématiques la place et rôle de la logique en essayant de mettre en perspective les concepts logiques mobilisés avec les concepts fondamentaux de la théorie des modèles de Tarski. Dans une seconde partie, je montrerai sur un exemple ce que peut apporter un point de vue modèle-théorique pour analyser l’activité des sujets en situation de recherche de problème.

DURAND-GUERRIER V., 2005, Recherches sur l’articulation entre la logique et le raisonnement mathématique dans une perspective didactique, Note de synthèse pour l’habilitation à diriger des recherches, IREM de Lyon.

SINACEUR, H., (1991) Logique : mathématique ordinaire ou épistémologie effective ?, in Hommage à Jean-Toussaint Desanti, T.E.R.

TARSKI, A. (1960) Introduction à la logique, Gauthier-Villars.