L'implication mathématique : étude épistémologique et didactique
Etude sous trois points de vue : raisonnement déductif, logique formelle et théorie des ensembles.
Construction d'une situation didactique qui problématise l'implication

Virginie Deloustal-Jorrand

PhD thesis, Université Joseph Fourier - Grenoble1

L’implication est un concept omniprésent en mathématiques, puisque constitutif des preuves. Pourtant, l’implication, souvent identifiée à l’objet de la logique naturelle, n'est presque pas enseignée en tant qu'objet mathématique. Elle apparaît comme un objet transparent et facile à manipuler alors que de nombreux étudiants manifestent des difficultés qui lui sont reliées jusqu'en fin d’université.
Pour cette étude nous nous sommes posé les question suivantes :

- Quel est l'objet mathématique "implication" ?
- Quelle est sa "vie" dans l'enseignement ?
- Comment construire une situation didactique qui problématise l'implication ?

En réponse à la première question, nous présentons, au chapitre 1, une analyse épistémologique de l’implication mathématique dans trois cadres : logique formelle, théorie des ensembles et raisonnement déductif.En réponse à la deuxième question, nous avons étudié, au chapitre 2, la "vie" de l'implication, relativement à ces trois cadres, dans quelques manuels du collège à l'université.Au chapitre 3, nous présentons nos premiers résultats concernant notamment la conception causale-temporelle de l'implication, à la suite desquels, nous avons formulé notre thèse :Il est nécessaire de connaître et d'établir un jeu dialectique entre les trois cadres, raisonnement déductif, logique formelle et théorie des ensembles pour une bonne appréhension et une bonne utilisation de l'implication. Nous soutenons que cette condition sur le jeu de cadre est aussi suffisante.Pour apporter des éléments de réponse à cette thèse nous avons construit une ingénierie didactique, destinée à des PLC2, qui permette de problématiser l'implication par un jeu sur ces trois cadres. Nous montrons, en particulier, la pertinence du point de vue ensembliste pour travailler l'implication. La présentation de cette ingénierie est l’objet de la deuxième partie de la thèse.