L'utilisation des quantificateurs universel
et existentiel en première année universitaire entre l'explicite
et l'implicite
Faïza Chellougui
PhD thesis, Université Lyon 1
Notre travail comporte deux parties mettant à jour une étude théorique
et didactique autour du concept de la quantification. Ce travail s'inscrit dans
le cadre de recherches sur l'imbrication des éléments de logique
dans un raisonnement mathématique dans une perspective didactique. En
accord avec Durand-Guerrier, nous soutenons la thèse selon laquelle la
logique de référence pertinente pour nos analyses est le calcul
des prédicats. Le premier chapitre est consacré à un cadre
théorique de référence développé en didactique
des mathématiques pour analyser les questions liées à la
quantification, ceci a permis de situer notre axe de recherche suivant des directions
pertinentes pour la suite du travail. Au chapitre 2 nous avons mené une
enquête épistémologique à partir des textes fondateurs
(Aristote, Leibniz, Frege, Russell et Quine) mettant en valeur la naissance
et le lien du concept de la quantification avec des théories philosophiques
qui montrent la complexité et la polysémie des quantificateurs
dans le langage formel et le langage naturel. Une étude théorique
sur le formalisme mathématique au chapitre 3 nous a permis d'interpréter
les situations mathématiques en adoptant un modèle logique pertinent
dans le calcul des prédicats comme outil didactique pour analyser l'articulation
entre logique et mathématique. Le chapitre 4 est consacré à
notre première expérimentation, dans laquelle nous étudions
à travers un exercice la gestion des quantificateurs universel et existentiel
entre l'explicite et l'implicite, des étudiants de première année
universitaire. Cette étude confirme la grande sensibilité des
résultats aux contenus, des difficultés dans la production d'un
argument mathématique et des phénomènes liés à
la dépendance des lettres variables. Ceci nous a conduit à approfondir
nos analyses didactiques en choisissant un objet sensible enseigné à
l'université il s'agit de la notion de borne supérieure. Cette
étude fait l'objet de la deuxième partie de notre thèse.
Le chapitre 5 sert d'introduire cette partie en motivant notre choix d'objet,
en balisant une étude épistémologique sur la construction
des nombres irrationnels par la notion de coupure et en décrivant une
situation de travail sur le point fixe. En nous appuyant sur le calcul des prédicats
nous avons effectué une formalisation logique des objets et des structures
qui interviennent dans la définition de lobjet borne supérieure.
Notre travail illustre la thèse de Quine selon laquelle l'enrégimentement
des énoncés dans le calcul des prédicats est la pierre
de touche de la clarté conceptuelle. Ceci nous a conduit à développer
les ostensifs symboliques et graphiques nécessaire pour l'étude
de cet objet. Le chapitre 6 est consacré à une analyse des manuels
et des notes de cours autour de cet objet à la lumière de l'étude
précédente. Les résultats montrent la variété
des choix de présentations pour définir des objets et des structures
mathématiques, révélant une sous estimation de cette complexité
et laissant prévoir des difficultés de manipulation des définitions
par les étudiants. Le chapitre 7 est consacré à notre deuxième
expérimentation avec la mise en place d'une situation de résolution
d'exercice et un entretien conduits avec des binômes d'étudiants.
Cette étude montre des phénomènes didactiques liés
à l'alternance des deux types des quantificateurs et aux ostensifs produits
par les étudiants. D'autre par des difficultés dans la mobilisation
de la définition des objets et des structures illustrent un problème
majeur dans le processus de conceptualisation.