Résumé des interventions

J. Toussaint - L'intéraction des échanges verbaux et des manipulations d'objets dans l'évolution des référents empiriques en mathématiques.
La situation proposée n'est qu'une partie (séance 2, sur 3) d'une situation de résolution de problème. La solution du problème sera une connaissance nouvelle pour les élèves. Elle apparaît dans les termes qu'ils utilisent ; elle s'intègre dans un ensemble de savoir-faire implicites, qui décrivent un certain référent empirique. Ce référent s'exprime au travers des différents registres phénoménologique (dans la parole), phénoménotechnique (dans les actions) et phénoménographique (dans les écrits, non visibles ici). Dans cette séance, on repère, à côté des phases gérées par le maître, de grands moments d'articulation (inter-action ?) entre la parole et les actions des élèves, qui justifient ce découpage.

J. Jayez - Conséquences et transitions. Les usages de "donc" et "alors"
Dans cet exposé, j'aborderai à partir du corpus "Math" le problème général de l'expression de la conséquence et de l'enchaînement des tâches à travers les mots "alors" et "donc". Le corpus Math correspond à une leçon sur les polyèdres réguliers. Vu le caractère très précis (et d'ailleurs difficile) de cette notion, on peut a priori s'attendre à ce que les relations de conséquence et de justification soient prégnantes dans les échanges de ce corpus et que des marqueurs appropriés y soient présents. On trouve effectivement un certain nombre d'occurrences de "alors" et "donc", mots dont on a tendance à penser, intuitivement, que ce sont de bons supports d'enchaînement dans la déduction. J'étudierai, à partir du corpus et d'exemples fabriqués, les deux questions suivantes.
(1) La différence de "force" entre "alors" et "donc". Il a été soutenu à plusieurs reprises (Jayez, Zenone, Hybertie, Mosegaard, Hansen, Jayez & Rossari, par ordre chronologique) que "alors" est moins "fort" que "donc". Intuitivement, il présente un enchaînement de conséquence comme moins rigoureux que "donc", qui paraît plus approprié pour une déduction logique. Le corpus manifeste la différence entre les "alors" et les "donc" de conséquence de façon claire : il n'y a pas d'occurrence du "alors" de conséquence (il y a d'assez nombreuses occurrences d'autres emplois) chez le maître, et on trouve une seule occurrence chez les élèves Malheureusement, si la différence de force fait l'objet d'un consensus entre spécialistes comme notion intuitive, elle se révèle aussi très difficile à représenter de manière explicite, en particulier parce que les structures qui sont utilisées pour représenter le raisonnement sont enthymématiques et que, au niveau de telles structures, il ne peut pas y avoir, pour des raisons techniques, de différence de "force". Je proposerai une hypothèse plus précise pour rendre compte de la différence de "force", et montrer par là-même qu'elle n'est pas fictive. Je discuterai au passage d'un argument souvent opposé à l'hypothèse de la différence de force, celui de l'omniprésence du "si ... alors" dans l'exposition mathématique.
(2) Les emplois "transitionnels" de "alors" et "donc". Ces emplois sont apparemment majoritaires dans le corpus. A la différence des emplois de conséquence, qui correspondent à des relations logico-inférentielles entre propositions, les emplois transitionnels renvoient à des étapes du discours, ou, plus généralement, de la situation. Ce type d'emploi rappelle la capacité des particules comme "bon", "eh bien", "ben", "attends", etc., à marquer des articulations du discours ou de la situation, d'où certaines terminologies très répandues ("structuration", "ponctuation"). Pour décrire les analogies et les différences entre les marqueurs, on a besoin de préciser l'ontologie qu'on utilise, c'est à dire les termes et les relations qui permettent de définir ce qu'on entend par articulation, transition, etc. On rencontre alors le problème de l'interface entre organisation et planification. Je montrerai comment on peut , en utilisant une ontologie diversifiée, décrire la valeur transitionnelle de "alors" et de "donc", et mieux saisir le rôle de ces connecteurs dans le discours.

V. Durand-Guerrier and J.-L. Heraud - Définitions et règles en mathématiques. Le mythe de la transparence.
Une tâche scolaire habituelle en mathématiques consiste à donner une définition, des objets, et à regarder si ces objets correspondent à cette définition. Dans la situation des Solides de Platon, la tâche des élèves consiste dans un premier temps à produire eux-mêmes des objets de l’espace satisfaisant la définition qui, de ce fait, fournit des règles d’action pour le sujet.
Nous montrerons que le corpus proposé fait voler en éclats l’idée commune de la transparence de la règle. Conformément à ce qu’affirme Wittgenstein, la règle est par nécessité incomplète ; la connaître ne suffit pas pour l’appliquer. Au-delà du travail sur la compréhension verbale de la définition qui initie la situation transcrite dans le corpus, la mise en pratique des règles qui en découlent fait émerger de nouveaux questionnements constitutifs d’une part du fonctionnement même de la règle, et d’autre part des savoirs géométriques en jeu.