Résumé des contributions
Raymond DUVAL Les conditions cognitives de l’apprentissage de
la géométrie : développement de la visualisation, différenciation
des raisonnements et coordination de leurs fonctionnements p. 5 - 53
Résumé. La géométrie est un domaine de connaissance qui exige l’articulation cognitive de deux registres de représentation très différents : la visualisation de formes pour représenter l’espace et le langage pour en énoncer des propriétés et pour en déduire de nouvelles. Les difficultés d’apprentissage viennent d’abord de ce que ces deux registres sont utilisés d’une manière souvent contraire à leur fonctionnement cognitif normal en dehors des mathématiques. La manière de voir des figures dépend de l’activité dans laquelle elle est mobilisée. On peut ainsi distinguer une manière de voir qui fonctionne de manière iconique et une manière de voir fonctionnant de manière non iconique. La visualisation non iconique implique que l’on déconstruise les formes déjà visuellement reconnues . Il y trois types de déconstruction des formes : la déconstruction instrumentale pour construire une figure, la décomposition heuristique et la déconstruction dimensionnelle. La déconstruction dimensionnelle constitue le processus central de la visualisation géométrique. Pour analyser le rôle du langage en géométrie, il faut distinguer trois niveaux d’opérations discursives : la dénomination, l’énonciation de propriétés, la déduction. Cette distinction est essentielle car le rapport du langage à la visualisation change complémentaire d’un niveau à l’autre. Cependant, sous cette variation, se cache un phénomène cognitif fondamental : le hiatus dimensionnel. Les passages entre visualisation et discours impliquent en géométrie un changement du nombre dimensions pour reconnaître les objets de connaissance visés dans chacun des deux registres. La prise de conscience de la déconstruction dimensionnelle des formes et celle de la variété des opérations discursives sont les conditions pour que la visualisation et le discours fonctionnent en synergie malgré leur hiatus dimensionnel. Ce sont là les seuils décisifs dans l’apprentissage de la géométrie.
Mots clés. analyse fonctionnelle, codage, circuit de visualisation, contre-exemple, décomposition heuristique (des figures), déconstruction dimensionnelle (des formes), définition, droite, figure, hiatus dimensionnel, preuve, proposition, reconfiguration, représentation autosuffisante, source de conviction, unité figurale, visualisation iconique, visualisation non iconique.
Denis TANGUAY Apprentissage de la démonstration et graphes orientés p. 55 - 94
Résumé. Selon Duval, les tâches traditionnelles d'analyse, lecture et écriture de démonstrations ne permettent pas aux élèves de distinguer entre une démonstration formelle, c'est à dire un enchaînement logique de propositions dont chacune respecte des critères de validité et a sa place en vertu de son statut dans la démarche, et une argumentation, dont les propositions obéissent à des critères de pertinence et se contentent de s'accumuler. En développant plus radicalement des pistes de recherche proposées par Duval et en tentant dans la mesure du possible d'isoler les difficultés, nous avons proposé à des élèves de remplir par des propositions les boîtes vides du graphe orienté d'une démonstration géométrique préalablement présentée. La séquence d'activités a été expérimentée auprès d'élèves du début de l'enseignement secondaire (12 – 13 ans) au printemps 2004 à Montréal. Une première analyse des données recueillies nous a notamment permis de conclure que:Mots-clés. enseignement secondaire, géométrie, démonstration, pas de déduction, inférence, enchaînement logique, graphe de démonstration, rédaction.