Construction de définitions / construction de concept : vers une situation fondamentale pour la construction de définitions en mathématiques. Etude épistémologique et didactique de la définition. Etude théorique et expérimentale de la dévolution de problèmes de construction de définitions, auprès d'étudiants de 1ère année d'université

Cécile Ouvrier-Buffet

Université Joseph Fourier Grenoble I

Construire des définitions joue un rôle essentiel dans l'activité de recherche mathématique en interagissant dialectiquement avec la formation de concepts. Les "Situations de Construction de Définitions" (SCD) sont cependant absentes de l'enseignement à tous les niveaux. La rareté des études didactiques sur ce sujet et la complexité du concept même de définition nous ont conduit au développement d'outils théoriques (du triple point de vue : mathématique, épistémologique et didactique) en vue de construire, réaliser et analyser de telles situations.
Partant de l'hypothèse que la construction de définitions est essentielle à la construction des concepts, nous développons la thèse suivante : il est possible de faire la dévolution de la construction de définitions d'un concept mathématique auprès d’étudiants, et ainsi, de les faire entrer dans une réelle démarche scientifique via le processus de délimitation d’un concept.
Dans un premier temps, nous explicitons nos outils théoriques et élaborons une typologie des SCD. Ceci nous permet de conduire une étude des conceptions sur la "définition" chez des philosophes et mathématiciens, ainsi que chez des étudiants et des enseignants. La place et le rôle des définitions dans l'enseignement du secondaire sont également étudiés, à travers l'analyse de manuels. Dans un deuxième temps, nous présentons et analysons quelques travaux didactiques existants relatifs au concept de définition et à la construction de définitions.
Nous montrons ainsi l'intérêt, pour l'apprentissage des mathématiques, de proposer des SCD en classe, comme "première rencontre" avec un concept.
Dans un troisième temps, nous menons une étude théorique des conditions pour la dévolution de telles situations, fondée sur des résultats d'expérimentations menées avec des étudiants de 1ère année d'université. Le choix des situations expérimentées relève de la typologie des SCD établie. Les concepts mathématiques en jeu ont été choisis pour leur accessibilité et leur position institutionnelle particulière : le concept d'arbre (qui vient d'entrer dans les programmes de lycée), les concepts de "générateur" et "libre" dans le plan discret (qui peuvent être considérés comme étant "en amont" des ceux des espaces vectoriels), et l'objet géométrique "droite discrète" (que l'on peut référer à la droite réelle). La variété des situations et concepts mathématiques étudiés nous permet de mieux cerner les conceptions sur la définition et d’attester l’existence de processus de construction de définitions et de concepts.

Le jury est composé de :
Nicolas Balacheff (examinateur)
Pierre Duchet (rapporteur)
Denise Grenier (co-directrice)
Sylvette Maury (examinateur)
Alain Mercier (rapporteur)
Charles Payan (co-directeur)