Etude didactique et cognitive des rapports de l'argumentation et de la démonstration dans l'apprentissage des mathématiques
Bettina Pedemonte
Università di Genova, Université Joseph Fourier Grenoble I
Résumé
Ce travail présente une analyse cognitive sur les rapports entre argumentation
et démonstration. L'hypothèse de départ est que la recherche
en didactique sur la démonstration a besoin, pour progresser, de comprendre
la nature et la complexité de cette notion en la replaçant dans
le référentiel de l'activité rationnelle de l'élève
: comment il décide, fait des choix, valide.
Nous commençons par proposer une caractérisation de l'argumentation
et de la démonstration en mathématiques. Les théories
linguistiques contemporaines nous permettent d'avancer l'hypothèse
que la démonstration est une argumentation particulière et nous
a conduits à proposer le modèle de Toulmin comme outil méthodologique
pour leur comparaison. Cette comparaison est faite selon deux points de vue
: la structure, et le système de référence. D'une part,
une analyse structurelle de l'argumentation et de la démonstration
permet de rendre compte de certaines continuités ou écarts nécessaires
pour passer d'une argumentation à une démonstration (d'une argumentation
abductive à une démonstration déductive, d'une argumentation
inductive à une démonstration par récurrence, etc.).
D'autre part, il est possible, au moyen de ce modèle, de prendre en
compte les énoncés mobilisés par les élèves
pendant l'argumentation pour les comparer avec les théorèmes
utilisés pendant la démonstration. La continuité ou l'écart
du système de référence, conception ou théorie,
s'appuie sur cette comparaison.
Nous avons mis en place un dispositif expérimental afin de montrer
comment analyser les productions des élèves avec le modèle
de Toulmin, et afin d'éclairer et de comprendre les rapports cognitifs
entre argumentation et démonstration. Nous avons proposé trois
problèmes de géométrie demandant la construction d'une
conjecture (pour la production d'une argumentation) et la construction d'une
démonstration. Les résultats obtenus permettent de proposer
une analyse cognitive de l'argumentation et de la démonstration à
partir de l'analyse structurelle et celle du système de référence.
Mots-clés : Argumentation en mathématique, Démonstration, Unité cognitive, Cognitif, Abduction, Induction, Déduction, Conceptions, Modèle de Toulmin.
Abstract
The purpose of this research is to analyze some aspects of the relationships
between argumentation and proof. Our assumption is that a didactical research
on the learning of proof needs to understand the nature and the complexity
of the notions of argumentation and proof in the referential of the student
rational activity: how he decides, he chooses and he proves.
At the beginning, we characterize argumentation and proof in mathematics.
On the base of the contemporary linguistics theory, we put forward the hypothesis
that proof is a particular mathematical argumentation and we propose Toulmin's
model as a methodological tool to compare them. Argumentation and proof can
be compared from two points of view: structure and referential system. First,
besides clear cases of continuity, our structural analysis highlights the
distance distances between the argumentation supporting the conjecture and
its proof (from an abductive argumentation to a deductive proof, from a inductive
argumentation to a deductive proof and so on). Then it is possible, by means
of Toulmin's model, to compare the statements mobilized by student during
the argumentation with the theorems used in the proof. This comparison constitutes
the basis of the analysis concerning the continuity or the distance between
conceptions and theory in the referential system.
An experimental design was carried out. We proposed three geometric problems
requiring the production of conjectures and the related proofs. The students'
productions were analysed according to Toulmin's model in order to highlight
and to understand the cognitive relation between argumentation and proof.
Our results show the potentialities of our cognitive analysis in order to
interpret and foresee students' difficulties related to the passage from argumentation
to proof.
Keywords: Argumentation in mathematics, Proof, Cognitive unity, Cognitive,
Abduction, Induction, Deduction, Conceptions, Toulmin's model.