La lettre de la Preuve

ISSN 1292-8763

 
Renaissance de la démonstration
dans l'enseignement des mathématiques aux Etats-Unis ?

Il n'y a pas si longtemps, on attendait de la démonstration qu'elle joue un rôle significatif dans l'enseignement mathématique pour tous les élèves de Etats-Unis. En fait, le trait marquant des nouveaux programmes de la fin des années 50 et du début des années 60 était l'accent mis sur la rigueur de la présentation des idées mathématiques et sur la rigueur des preuves en particulier (Hanna, 1983, p. 1). Ce programme a cependant reçu son lot de critiques pour la prolifération des preuves et leur usage dans la pratique des enseignants. Dans une large mesure pour répondre à ces critiques et en considérant l'effet que les programmes pouvaient avoir sur les conceptions de la démonstration -- voire des mathématiques -- des élèves (aussi bien que des enseignants), les Standards pour l'Enseignement des Mathématiques (programme et évaluation) du NCTM (National Council of Teachers of Mathematics) atténuaient le rôle de la preuve dans la mathématique scolaire, choisissant en revanche de porter l'attention sur le raisonnement (J. Kilpatrick, communication personnelle, mars 1999). En conséquence, les élèves ont eu moins d'occasions d'être confrontés à des preuves dans l'enseignement de mathématiques, et de façon peu surprenante ont trouvé l'étude de la démonstration difficile (e.g., Chazan, 1993; Sowder & Harel, 1998; Usiskin, 1987)
  Cette disparition de la preuve, quoiqu'il en soit, n'est pas passée inaperçue et a été à son tour, en fait, la cible de critiques. Wu (1996) a défendu l'idée que la rareté des preuves hors de la géométrie est le défaut manifeste des mathématiques enseignées de nos jours dans le secondaire ; à vrai dire il est un fait qu'en dehors de la géométrie il n'y a pour l'essentiel pas de présence de la démonstration. L'éducation, certes, ne peut éviter les anomalies, mais celle-ci est plus importante que d'autres parce qu'elle présente une image complètement falsifiée des mathématiques elles-mêmes (p. 228).
  De la même façon, Schoenfeld (1994) suggère que la démonstration est une chose qui ne peut être séparée des mathématiques comme cela est le cas dans les programmes ; c'est une composante essentielle de la pratique, de la communication et de la mémoire mathématique (p. 76). Manifestant une prise de conscience de telles critiques, autant que reconnaissant le rôle central de la démonstration en mathématiques, les efforts récents de réforme aux Etats-Unis appellent à des changements importants à la fois dans les programmes de mathématiques et dans les pratiques des enseignants pour ce qui concerne la preuve.
  Par contraste avec son statut dans les précédents Standards (i.e., NCTM, 1989), la position de la preuve a été remontée de façon significative dans les documents des récents Standards nationaux (NCTM, 1998) -- un document qui a pour objet de guider la révision de la mathématique scolaire aux Etats-Unis au cours du prochain millénaire. Non seulement la preuve a vu son statut révisé à la hausse au point d'apparaître en tant que telle dans les documents les plus récents (Mathematical Reasoning and Proof), mais encore elle se voit attribuer un rôle bien plus important tout au long du curriculum de mathématique où il est attendu qu'elle soit l'un des éléments de l'expérience mathématique de tous les élèves. En particulier les Principles and Standards for School Mathematics (NCTM, 1998) recommandent que de la maternelle à la fin du secondaire :

Les programmes de mathématiques doivent mettre l'accent sur l'apprentissage du raisonnement et la construction des preuves comme constituants de la compréhension des mathématiques, de telle façon que tous les étudiants :
   - reconnaissent le raisonnement et la preuve donne une part essentielle et puissante de      mathématiques ;
   - produisent et explorent des conjectures ;
   - développent et évaluent des arguments mathématiques et des démonstrations ; [et]
   - choisissent et utilisent différents types de raisonnements et différentes méthodes de preuve de     façon appropriée (p. 80).

Il est tout à fait clair, à la lecture de ces recommandation, que l'on attend de la preuve qu'elle joue à nouveau un rôle significatif dans la mathématique scolaire aux Etats-Unis. Il reste cependant une importante question -- de celles qui ont une conséquence sérieuse pour la mise en oeuvre de cet enseignement : les enseignants sont-ils préparés pour mettre en oeuvre ces recommandations dans leurs pratiques de classe ?
  Les approches envisagées pour développer le rôle de la preuve dans la classe, et dans le même mouvement les conceptions des élèves de la preuve, requièrent énormément de ressources de la part de l'enseignant (Chazan, 1990). Et, de ce point de vue, la formation des enseignants, traditionnellement, ne les prépare pas pour être à la hauteur des attentes ambitieuses exprimées dans les documents présentant les réformes (Ross, 1998). Cette mauvaise préparation crée en particulier des perturbations dans le cas de la preuve, en raison des conceptions souvent limitées qu'ont de la preuve beaucoup de futurs enseignants (e.g., Goetting, 1995; Harel & Sowder, 1998; Jones, 1997; Martin & Harel, 1989; Simon & Blume, 1996). Et encore, ces recherches n'ont-elles pas examiné les conceptions d'individus d'abord en tant qu'enseignants de mathématiques, mais en tant qu'ayant une compétence en mathématiques.
  Dans cette communication, je discute rapidement les résultats d'une étude qui a été conçue à la fois pour traiter la question ci-dessus, et pour identifier les points sur lesquels il est nécessaire de préparer les enseignants pour qu'ils puissent mettre en oeuvre avec succès les recommandations de la réforme pour ce qui concerne la preuve (voir Knuth, 1999, 2000a, 2000b, pour plus de détails). En particulier, je discute les conceptions de la preuve de 18 enseignants de mathématiques expérimentés du secondaire, mettant notamment l'accent sur leurs conceptions de la preuve en tant qu'enseignants de mathématiques.

Le rôle de la preuve dans l'enseignement secondaire des mathématiques

Les enseignants ont suggéré plusieurs rôles pour la preuve dans l'enseignement secondaire des mathématiques, dont deux sont au service de fonctions d'éducation importantes et, de plus, rendent bien compte d'aspects de la réforme. D'abord, les enseignants suggèrent que la preuve joue un rôle pour répondre à la question de savoir pourquoi un énoncé est vrai. Dans ce cas, plutôt que d'expliquer pourquoi l'énoncé est vrai, la preuve permet de montrer comme il se fait que cet énoncé est vrai. Par exemple, les enseignants considèrent le traitement d'une expression du second degré comme une bonne illustration de ce rôle de la preuve -- on peut suivre la progression des pas pour comprendre comment la formule générale est obtenue (i.e. "pourquoi" elle est vraie). Comme l'un des enseignants l'a commenté : "cela donne aux enfants un moyen de comprendre pourquoi les choses sont ce qu'elles sont... au lieu de seulement accepter [des formules] pour leur valeur faciale, les preuves donnent [aux élèves] des possibilités de justification des formules."
  Ensuite, et d'une façon totalement liée à la précédente, les enseignants mentionnent le rôle de la preuve pour favoriser l'autonomie de l'élève. Pour que les élèves puissent être autonomes dans la classe de mathématiques, ils doivent être capables de créer leurs propres connaissances en étant engagés dans leur validation, comme de celle des connaissances prétendues par leurs camarades. Un enseignant a suggéré que la preuve permet aux élèves d'être des penseurs indépendants, au lieu de n'être que des robots à qui il est dit ceci est la relation à considérer... c'est ça qui marche... Les étudiants n'ont pas à s'en remettre à l'enseignant ou à un livre pour leur donner l'information. Encore une fois, ce rôle est important d'un point de vue pédagogique dans la mesure où il permet aux élèves de devenir producteurs de connaissances et pas seulement d'être des consommateurs des connaissances des autres. Au-delà, ce rôle de la preuve est analogue à l'un des buts majeurs des mathématiques identifiés dans la dernière version des Standards : l'un but majeur des programmes scolaires d'enseignement des mathématiques devrait être de créer des apprenants autonomes (NCTM, 1998, p. 35).
  Il est remarquable que parmi les rôles que les enseignants suggèrent, il manque la reconnaissance du rôle explicatif de la preuve -- un rôle que beaucoup de mathématiciens considèrent important (Hanna, 1983, 1990; Hersh, 1993) -- rôle de la preuve comme un moyen de promouvoir la compréhension des mathématiques qui lui sont sous-jacentes. D'une certaine façon il n'est pas étonnant que ce rôle n'ait été mentionné par aucun enseignant ; pour beaucoup d'enseignants l'essentiel de leur expérience de la preuve, en tant qu'élèves eux-mêmes, a d'abord été focalisée sur les mécanismes déductifs et le résultat final plutôt que sur les relations mathématiques sous-jacentes qu'une preuve peut éclairer (e.g., Chazan, 1993; Goetting, 1995; Harel & Sowder, 1998). Pourtant, de tous les rôles de la preuve, celui de promoteur de la compréhension est probablement le plus significatif dans une perspective éducative. Comme Hersh (1993) l'a suggéré, au niveau secondaire ou des premières années d'université, son rôle premier est d'expliquer (p. 398). Ross (1998) est allé jusqu'à suggérer que l'accent sur la preuve dans la mathématique scolaire devrait porter plus sur sa valeur éducative que sur sa correction formelle. Le temps, ajoute-t-il, ne doit pas être perdu dans les détails techniques des preuves, ni même sur les preuves entières elles-mêmes, qui ne conduiraient pas à la compréhension éventuellement intuitive (p. 3).

La preuve pour tous ?

Par contraste avec le rôle central de la démonstration dans les mathématiques comme discipline, la majorité des enseignants ne considère pas que la démonstration joue un rôle central dans les mathématiques de l'enseignement secondaire, questionnant, en fait, qu'elle puisse être appropriée à tous les élèves. Comme un enseignant le commente : la démonstration est pour les enfants qui vont poursuivre l'étude des mathématiques et qui probablement étudieront les mathématiques dans les premières années de l'université. Avant la dixième année, ajoute-t-il, il n'est pas convaincu que la démonstration joue pour les enfants un rôle véritable. Un autre enseignant parle abruptement de l'adéquation de la démonstration pour tous les élèves : je pense que les avocats de la preuve à tous les niveaux de l'enseignement des mathématiques s'étourdissent ; j'aimerais voir ce qu'il se passerait, à quoi une classe ressemblerait. Ainsi, pour ces enseignants, la preuve semble être une notion importante pour ceux des élèves qui s'engageraient dans des études avancées de mathématiques et pour ceux d'entre eux qui pourraient étudier les mathématiques à l'université. Cette perspective est en opposition manifeste avec le message promu par les avocats de la réforme, soit que "le raisonnement et la preuve doivent être une partie importante de l'expérience des élèves de la maternelle à la fin des études secondaires" (NCTM, 1998, p. 85).
  Beaucoup d'enseignants précisent de façon plus fine le rôle de la preuve dans les cours de mathématiques des grandes classes, en la reléguant principalement dans la géométrie. Plus encore, même ces enseignants qui ne citent pas particulièrement la géométrie comme lieu privilégié pour la preuve dans l'enseignement secondaire des mathématiques, disent que sa présence dans le autres cours de mathématiques de niveau supérieur est au mieux implicite, au pire inexistante. Comme l'un des enseignants le suggère, dans l'enseignement secondaire des mathématiques la preuve n'occupe pas un part importante du cours d'Algèbre ou du cours d'Analyse. Vue qui, encore, est inconsistante avec le message de la réforme : "les démonstrations apparaissent dans tous les domaines des mathématiques, l'expérience des élèves avec la démonstration ne doit pas être limitée à la géométrie." (NCTM, 1998, p. 316), et est de celle qui rend pas compte de l'essence même de la démonstration en mathématiques.
  Cependant, les enseignants on manifesté qu'ils considèrent que les preuves informelles (e.g. les arguments fondés sur des évidences empiriques) jouent un rôle significatif dans la formation mathématique de tous les élèves. Les expériences avec des méthodes de preuve plus informelles donnent aux élèves la possibilité de formuler et d'explorer des conjecture -- deux aspects importants de la pratique des mathématiques -- et peut les aider à développer un désir irrépressible de comprendre pourquoi une conjecture est vraie (Hoyles, 1997, p. 8). De telles pratiques rendent aussi compte de ce qu'est l'expérimentation en mathématiques : la plus part des mathématiciens passent beaucoup de temps sur des cas particuliers qu'ils analysent ; cela suscite de nouveaux développements théoriques et apporte une compréhension plus profonde des théories existantes (Epstein & Levy, 1995, p. 670). Pour beaucoup d'enseignants, les preuves informelles sont souvent vues comme devant satisfaire exactement cette fonction (dans les niveaux supérieurs et, en particulier, en géométrie) à savoir, comme précurseur du développement de méthodes de preuve plus formelles -- au développement théorique. Une des professeure décrit ce processus dans sa classe : les élèves font cela [une expérience] très tôt pour montrer que ça marche ; ensuite, quand nous introduisons d'autres concepts géométriques, nous revenons là-dessus et nous en donnons une démonstration.
  Pour ce qui concerne les étudiants des petites classes de mathématiques, cependant, leur rencontre avec la preuve est limitée aux preuves informelles. Comme le commente un enseignant : quand ils disent j'ai remarqué cette propriété et je l'ai vérifié sur plusieurs cas, on lui dit que c'est très bien ; pour eux, c'est une preuve, on ne les ennuie pas avec des cas généraux. En fait, peu d'enseignants discutent les limites de telles preuves informelles avec leurs élèves ; on les laissent penser que ces arguments informels sont de véritables preuves. Comme Wu (1996) le remarque, cet insistance sur les preuves informelles, même pour les élèves dans les premières classes de mathématiques, n'est un pas dans la bonne direction que si c'est un complément à l'enseignement de raisonnements mathématiques corrects, c'est-à-dire des démonstrations, et un moyen de les remplacer (p. 226).
  En résumé, il est évident que la recommandation de la réforme, la "preuve pour tous", n'est pas une vue que la plupart des enseignants partagent. Plutôt que de fournir à tous les élèves des occasions de développer une compréhension de plus en plus sophistiquée de la démonstration (NCTM, 1998, p. 316) et une appréciation de la nécessité et du pouvoir de la démonstration pour établir la vérité de leurs conjectures (p. 317), les enseignants sont enclins à considérer ces objectifs comme appropriés d'abord aux élèves des niveaux supérieurs en mathématiques -- la minorité d'élèves qui étudient les mathématiques dans l'enseignement secondaire. De plus, même pour les étudiants de ces classes, les enseignants tendent à voir la géométrie comme le cours dans lequel ils rencontreront explicitement des pratiques de preuve. Aussi, si ces enseignants sont représentatifs, alors la majorité des élèves -- ceux des classes de niveau mathématique plus bas et ceux des niveaux supérieurs qui ne choisissent pas la géométrie -- auront une expérience mathématique au secondaire qui ne comprendra pas de rencontres significatives avec des méthodes plus formelles de preuve.

Implication pour la formation mathématique

Si les enseignants doivent réussir à intégrer la preuve tout au long du cursus de mathématique, alors leur conception de la preuve doit être améliorée. Cette responsabilité dépend à la fois des mathématiciens et des formateurs d'enseignants, en tant qu'ils sont respectivement responsables de la nature de l'expérience que les enseignants ont de la preuve en mathématique à l'université et dans leur formation professionnelle.
  En préparant les enseignants de mathématiques à satisfaire les exigences de la réforme, les professeurs de mathématique des universités ont besoin de les engager dans des situations, à propos de la preuve, qui rendent mieux compte de la preuve dans leur propre pratique. Comme Alibert et Thomas (1991) le suggèrent :

le contexte dans lequel les étudiants rencontrent les preuves en mathématiques peut grandement influencer leur perception de leur valeur. En constituant un environnement dans lequel les étudiants pourraient observer et expérimenter directement ce qui leur est nécessaire pour convaincre les autres, de la vérité ou de la fausseté de propositions, on permet à la démonstration de devenir un instrument personnellement valorisé qu'ils utiliseront [enseigneront] alors plus volontiers dans le futur (p. 230).

En bref, les enseignants ont besoin d'expérience de la démonstration comme un outil plein de sens pour étudier et communiquer les mathématiques, plutôt qu'un exercice souvent sans signification dont on doit s'acquitter pour le professeur. Les expériences du premier type peuvent même influencer les conceptions de la preuve que les enseignants développeront, qui à leur tour influenceront l'expérience de la preuve que leurs élèves auront au cours de leurs études secondaires de mathématiques.
  Il se peut que le plus grand défi que doivent relever les formateurs d'enseignants est de changer les croyances des enseignants sur le caractère approprié de l'enseignement de la preuve pour tous les élèves de toutes les classes. Un point de départ peut être d'engager les enseignants dans des discussions sur ce qui constitue une preuve. Est-ce que ce qui peut suffire comme preuve dans la discipline est différent de ce qui peut suffire comme preuve dans la mathématique scolaire au secondaire ? Est-ce que l'acceptation d'un argument comme preuve dépend des pratiques d'une communauté particulière ? Est-ce qu'une preuve est une preuve, ou y-a-t'il des niveaux de preuve ? Si les enseignants ont une compréhension limitée de ce qui constitue une preuve, alors il n'est pas surprenant qu'il puissent percevoir la preuve comme inadéquate pour la plupart des élèves du secondaire. Demander à de enseignants de construire et de présenter des preuves pour des tâches mathématiques de secondaire -- tâches de divers domaines et de divers niveaux -- fournit un forum pour discuter des attentes pour ce qui concerne la preuve vis à vis des élèves de différents niveaux en mathématiques et ayant diverses compétences. De plus, donner aux enseignant la possibilité de discuter des mérites pédagogiques de divers arguments en relation avec une tâche en termes des qualités explicatives de ces arguments, peut leur apporter une perspective plus riche pour les arguments qu'ils retiendraient pour leur propre enseignement (cf. Hanna, 1990). Engager les enseignants dans toutes ces activités peut avoir pour résultat de leur faire adopter une vue de preuve comme un outil pour étudier et comprendre les mathématiques -- un objectif convenable pour tous les élèves -- plutôt que comme un sujet d'étude en soi -- ce qui ne serait perçu comme un objectif approprié que pour une minorité d'élèves.

Remarques de conclusion

Comme Edwards (1997) l'a suggéré : l'enseignement de la preuve mis en oeuvre dans de nombreuses classes de mathématiques du secondaire, a souvent été inconsistant avec à la fois l'objectif et la pratique de la preuve tels qu'ils apparaissent chez des mathématiciens (p. 187). D'une certaine façon cela n'est pas surprenant : les enseignants de mathématiques du secondaire -- tout comme leurs étudiants -- ne sont indiscutablement pas des mathématiciens. Bien que la nature des pratiques mathématiques dans la classe telles qu'elles sont envisagées par les récentes initiatives de réforme, et dont on attend que les enseignants les mettent en oeuvre, reflète l'essence des pratiques dans la discipline elle même(Hoyles, 1997). Cette vision de la pratique des mathématiques, cependant, fait peser des exigences sérieuses sur les enseignants de mathématiques du secondaire, et leur succès dans la réponse à ces exigences dépend largement de leurs conceptions de la preuve. Au début de ce texte, J'ai posé la question suivante : les enseignants de mathématiques sont-ils préparés pour mettre en oeuvre les recommandation de la réforme actuelle en ce qui concerne la preuve, dans leurs pratiques d'enseignement ? En réponse, je suggère que la mise en oeuvre avec succès de telles pratiques peut être difficile pour les enseignants. Je souhaite que les résultats de cette étude (dont certains sont présentés rapidement dans ce texte) offre aux formateurs d'enseignants de mathématiques l'information nécessaire pour mieux préparer les enseignants à mettre en oeuvre de façon réussie ces recommandations. Je suis totalement d'accord avec Schoenfeld (1994) qui concluait : avons-nous besoin de la démonstration dans l'enseignement des mathématiques ? Absolument ! Dois-je en dire plus ? Absolument (p. 74).

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Commentaires de Keith Austin