La lettre de la Preuve

ISSN 1292-8763

Articulación y estructuración de las concepciones
en la clase de matemáticas:
Argumentos y conocimiento público
 

Si consideramos a la clase de matemáticas como un sistema de conocimientos públicos, ¿cuáles son los usos posibles de la argumentación en la articulación y la estructuración de los conocimientos dentro de este sistema? La expresión conocimiento público se usa aquí para indicar dos distinciones simultáneas. Las matemáticas de la clase en tanto conocimiento público se distinguen de (1) las matemáticas designadas para ser transmitidas y adquiridas (el saber oficial), y (2) las matemáticas conocidas o aprendidas por los individuos que actúan de alumnos o maestros (el conocimiento personal de ellos). Estas distinciones no intentan desestimar el saber oficial ni el conocimiento personal, sino sirven para identificar un desafío: El desafío de investigar en detalle que está envuelto en conocer matemáticas y en regular este conocimiento en el ámbito de la clase.
   Se necesita encontrar maneras de referirse a la relación entre la argumentación y los conocimientos matemáticos dentro de la complejidad de la clase de matemáticas. Tradicionalmente, los problemas que conciernen a la prueba en la clase de matemáticas se han estudiado en términos de la estructura lógica del discurso matemático o de la convicción personal de los participantes. La noción de conocimiento público llama la atención a las matemáticas emergentes del funcionamiento de la clase y busca desarrollar una manera de hablar sobre la prueba relacionada con el trabajo colectivo de construcción de los conocimientos matemáticos.
   Ejemplos recientes de investigacion en la clase de matemáticas (Yackel & Cobb, 1996; Ball & Bass, en prensa) nos estimulan a pensar la clase de matemáticas como un lugar donde una forma especial de conocimiento matemático existe y funciona. El ejemplo de los "números de Sean" estudiado por Deborah Ball (números que son múltiplos impares de dos&emdash;como 6 o 10) ilustra que tal caracter especial no se refiere solamente a la existencia de una forma particular de hacer matemáticas, sino que incluye además objetos de estudio emergentes en tal quehacer (Ball, 1993). Observaciones como aquélla apoyan la hipótesis de que la clase de matemáticas es un locus cognitivo: Una especie de ecosistema que produce sus propios objetos de conocimiento y, uno puede suponer, sus propios códigos comunicativos, formas de argumentación, teorías, y dispositivos de registro y de memoria. Las matemáticas de la clase son tanto fomentadas como circumscriptas por la cognición de los individuos implicados y por la estructura del saber a ser enseñado, pero considerar a la clase de matemáticas como un locus cognitivo implica resistir la reducción de ésta a cualquiera de aquellos factores. El estudio de tal sistema de conocimientos públicos podría ayudarnos a entender de una manera más sistemática qué matemática podría hacerse y conocerse en la escuela. Si bien el conocimiento de como los individuos desarrollan ideas matemáticas específicas o de como pueden organizarse el conocimiento a ser aprendido proveen motivación y apoyo para sugerir cambios en las matemáticas escolares, éstos no son suficientes para estimar los costos de esos cambios o para mostrar que tales cambios son posibles. Necesitamos saber más sobre la lógica que subyace en las prácticas cognitivas de las matemáticas escolares para poder determinar las condiciones de posibilidad de aquellos cambios.
   Las perspectivas usuales en la investigación sobre la prueba en la enseñanza de la matemática se corresponden con las formas de concebir a la clase de matemáticas esbozadas en el parrafo anterior: La clase como reproducción deficitaria del saber oficial o la clase como agregado de los conocimientos personales. Así, investigadores interesados en el desarrollo individual de la noción de prueba han definido a la prueba como aquellas estrategias mediante las cuales los alumnos se convencen a sí mismos o persuaden a otros de la validez de sus afirmaciones matemáticas (véase por ejemplo Harel y Sowder, 1998). En contraste, investigadores interesados en determinar en qué medida las demostraciones que hacen los matemáticos pueden influir en las prácticas de la clase han considerado a la prueba como las formas genéricas de validar y explicar lo verdadero en matemáticas (véase por ejemplo Fawcett, 1938; Hanna, 1995). Esas perspectivas pueden ser útiles para estudiar el desarrollo de la noción de prueba en individuos o para controlar cuanto se ajusta lo que se llama prueba en la clase de matemáticas a lo que se llama prueba en matemáticas. Sin embargo, la concepción de la clase como un sistema de conocimiento público sugiere que se evite una reducción de la prueba al convencimiento o a la lógica. En su lugar, la conceptualizacion de la clase como un sistema de conocimientos públicos recomienda considerar otros problemas que parecen críticos para una investigación de la prueba en la clase. Esos problemas conciernen los roles posibles de la argumentación en la constitución, articulación, y estructuración del conocimiento público.
   Los problemas relacionados con la constitución, articulación, y estructuración del conocimiento público incluyen, al menos, tensiones entre el conocimiento como producto (como riqueza pública) y la producción del conocimiento (como trabajo público), ambos a nivel global (de acumulación y crecimiento) y a nivel local (de creación e intercambio). A nivel global uno puede pensar en una tensión entre la estructura del saber (en tanto producto) y la estructuración de los conocimientos (como parte de su producción). El comentario siguiente sobre las prácticas matemáticas y su historia pretende sustentar la proposición de que hay una conexión íntima entre una noción sustantiva de la argumentación y la prueba (sustantiva por oposición a formal, es decir ligada al conocimiento en juego), basada en las prácticas de construcción de los conocimientos, y los problemas globales y locales del conocimiento público presentados arriba.
   Las metáforas económicas de creación e intercambio aplicadas a los conocimientos emergentes en las prácticas matemáticas de la clase sirven para pensar en la articulación entre la definición de objetos y la validación de teoremas (enunciados hipotéticos) sobre esos objetos. Existe siempre una tensión entre el interés por afirmar una conclusión y la posibilidad de establecer tal afirmación en continuidad con lo que se sabe: Esta tensión relaciona la conclusión (en tanto establecimiento de un hecho categórico) y la proposición (en tanto enunciado de un hecho hipotético). De momento que uno puede reforzar más o menos las condiciones del enunciado (es decir, agregar hipótesis), la existencia de una prueba se puede volver más probable, dando así garantías lógicas para afirmar la conclusión. Pero claramente, aquellas condiciones pueden llegar a ser tan fuertes o la prueba puede devenir tan trivial que el enunciado hipotético puede volverse irrelevante o su estatuto de teorema puede perderse (al punto de volverse innecesaria su enunciación). Los matemáticos no solamente se interesan en proveer la prueba más impecable posible de que una conclusión está sustentada, ellos tambien buscan las condiciones mínimas que permiten la existencia de una prueba aceptable&emdash;y naturalmente, esto aumenta la expectativa en la creatividad necesaria para demostrar que una prueba existe. El trabajo de la prueba en este aspecto local de producción del conocimiento matemático no puede reducirse a la forma lógica del argumento pues incluye la sustancia del conocimiento implicado además de un sistema de valores relativos a ese conocimiento. El trabajo de la prueba en este aspecto local de producción del conocimiento matemático tampoco puede reducirse al conocimiento personal de los participantes pues incluye un proceso explícito de sintesis de posiciones epistemológicas que normalmente coexisten implícitas en una persona.
   Las metáforas económicas de acumulación y crecimiento aplicadas a los conocimientos emergentes de las prácticas matemáticas de la clase sirven para pensar en la estructuración de teorías matemáticas, memorias, discursos, o textos (en general, aquellas arquitecturas intelectuales que integran un conjunto de objectos y proposiciones comprobadas, y sugieren problemas para ser trabajados). Existe siempre una tension entre la capacidad de las teorías para albergar (en tanto consecuencias lógicas) una gran cantidad de resultados dentro de una estructura coherente (el aspecto de acumulación) y la capacidad de las teorías de permitir que problemas importantes sean formulables y solubles (el aspecto de crecimiento). Esta tensión afecta los estándares a los cuales se somete una prueba. Si una teoría va a permitir a la comunidad de investigadores entrever que se puede hacer, la teoría tiene que dar lugar a ideas que no estén totalmente formalizadas, tiene que concentrar el rigor donde hace falta pero evitar atar de manos a la intuición. Recíprocamente, si una teoría va a dar cuenta coherentemente de lo que una comunidad sabe, necesita herramientas para evitar la circularidad de las explicaciones o la ambiguedad de la información. El trabajo de la prueba en este aspecto global de producción del conocimiento matemático no puede reducirse a la construcción de una arquitectura lógica pues incluye no solo la existencia de una arquitectura lógica sino tambien la existencia de razones sustantivas y prospectivas para la existencia de aquella arquitectura. El trabajo de la prueba en este aspecto global de la producción de conocimientos matemáticos tampoco puede reducirse al intercambio mutuo de conocimiento personal de los participantes pues las teorías incluyen la reconstrucción de pasados ficticios pero comunes y permiten el planeamiento de futuros comunes.
   La búsqueda de una nocion de la prueba basada en las prácticas de la clase podria beneficiarse de considerar cuestiones relativas a la articulacion y la estructuración de las matemáticas de la clase análogas a las que he ilustrado con respecto a las prácticas de los matemáticos. Esta propuesta intenta atacar el problema de la prueba en la clase dandolo vuelta. En lugar de abstraer una noción genérica de la prueba en las matemáticas o de inventariar las maneras en las cuales los participantes de la clase se convencen individualmente, las metáforas de producción económica permiten considerar a la prueba desde la perspectiva del conocimiento público. La definición que propongo incluye y extiende la propuesta por Balacheff (1987, p. 147):

Una prueba es una explicación de la verdad de una proposición aceptada por una comunidad dada en un momento de tiempo dado. La decisión de aceptarla puede ser el objeto de un debate cuyo objetivo principal es el de determinar un sistema de validación común para los participantes.

A tono con aquella definición, sugiero entonces que la prueba puede concebirse como el sistema de herramientas prospectivas y retrospectivas con las cuales se ejerce el control público de la producción de conocimientos en el seno de practicas cognitivas específicas (a las que, siguiendo a Balacheff, en prensa, llamamos concepciones). Lo que cuenta como prueba depende por lo tanto de aquello que se esta haciendo y conociendo (o de lo que se va a hacer o conocer) en varios niveles de actividad cognitiva (problemas, proposiciones, modelos, teorías).
   Mediante interesarse en los objetos de conocimiento publico que se manejan en la clase uno se da cuenta que para reconocer qué afirmación ha sido hecha se necesita comprender cuales son las formas normativas de representación y enunciación que son específicas de esos objetos. El reconocimiento de las condiciones bajo las cuales se hace una afirmación y de la validez de su "prueba" dependen de las concepciones puestas en juego y de aquellas mantenidas aparte. Lo que cuenta como una afirmación o como una prueba en las matemáticas de la clase no puede comprenderse solamente en términos de una lógica o de un lenguaje situados pero genéricos. Una búsqueda mas fina por comprender la prueba en las matemáticas de la clase se beneficiaría de trabajar dentro de campos conceptuales específicos en lugar de trabajar en matemáticas en general.
   Existe una relación importante entre lo que posiblemente cuente como "prueba" y la manera segun la cual se articulan las concepciones. No es probable que las varias concepciones relacionadas con una nocion en matemáticas esten disponibles en cualquier momento (aun si los estudiantes las han usado en el pasado). Esto parece servir al proposito de permitir que cierto trabajo pueda hacerse a la vez que circunscribir el inventario de argumentos y contraejemplos que puedan ofrecerse. Cuales son los argumentos mediante los cuales las varias concepciones asociadas con una nocion matematica se integran en el conocimiento público? Si varias concepciones se reconcilian en una teoría unificada, como se involucran mutuamente para "arguir" entre ellas? Que se dicen, y como desarrollan un "argumento normal"? Si tal reconciliacion no ocurre, de que maneras concepciones paralelas y desconectadas mantienen sus propios sentidos de "argumento normal"? Estas preguntas se formulan metaforicamente pues una parte importante del trabajo que resta hacerse incluye desarrollar teoría que permita formularlas de manera mas precisa.

Nicolas Balacheff (inspirado en la teoría de los campos conceptuales de Vergnaud y en la noción de obstáculo epistemológico de Bachelard) ha dado una caracterización de las concepciones que permite describir el rol de los argumentos dentro de ciertos ejemplos particulares. Las concepciones matemáticas se definen como dominios coherentes de prácticas cognitivas y se representan como una cuaterna de sistemas interrelacionados, a saber:

• P los problems que normalmente se pueden resolver,
• R los operadores que normalmente manejan esos problemas,
• L los sistemas de representación que permiten expresar y atacar esos problemas, y
• … las estructuras de control (incluyendo los tipos de prueba) que permiten determinar si un problema ha sido resuelto satisfactoriamente.

Vengo de sugerir que la cuestión de qué puede contar o funcionar como prueba en la clase está íntimamente relacionada con la articulación y la estructuración de las concepciones puestas en juego en la clase: Lo que cuenta como prueba y lo que funciona como prueba dependen de lo que la clase conoce y podría conocer. Si bien tal conceptualización de la prueba podría permitir una visión de las matemáticas escolares mas cercana a lo que hacen los matemáticos, esta visión tambien aumentaría el compromiso y el riesgo del docente. Tal visión requeriría una actitud de permanente búsqueda y cuestionamiento de maneras de hacer avanzar los criterios según los cuales se aceptan los argumentos. Cabe preguntarse, dentro de tal vision de la prueba en las matemáticas escolares, ¿qué herramientas tendría disponible el docente para poder involucrar a los estudiantes en la producción de pruebas a la vez que asegurar que los argumentos dados estén dentro del rango de lo matemáticamente aceptable?
   El estudio de como se articulan y se estructuran las concepciones provee una base para comprender la racionalidad subyacente a los usos of falta de usos de la prueba en la clase. Tal comprension puede permitir a la educación matemática entender más precisamente cuáles son los desafíos específicos a los que se enfrentan los docentes cuando tratan de hacer que las prácticas matemáticas de la escuela se asemejen a aquellas de los matemáticos profesionales. Mas aun, uno puede estar en mejor posicion para trabajar hacia el desarrollo de formas de apoyo técnico que permitan a los docentes superar esos desafíos.

Referencias

Balacheff N. (1987). Processus de preuve et situations de validation [Processes of proof and situations of validation]. Educational Studies in Mathematics, 18, 147-176.
Ball D. L. (1993). With an eye on the mathematical horizon: Dilemmas of teaching elementary school mathematics. The Elementary School Journal, 93, 373-397
Ball D., Bass H. (in press). Making believe: The collective construction of public mathematical knowledge in the elementary classroom. In D. Phillips (Ed.), Constructivism in education: Yearbook of the National Society for the Study of Education. Chicago: University of Chicago Press.
Fawcett H. (1938). The nature of proof&emdash;The National Council of Teachers of Mathematics Thirtheenth Yearbook. New York: Bureau of Publications of Teachers College, Columbia University.
Hanna G. (1995). Challenges to the importance of proof. For the Learning of Mathematics, 15(3), 42-49.
Harel G., Sowder L. (1998) Students' proof schemes: Results from exploratory studies. In: A. Schonfeld, J. Kaput J., and E. Dubinsky (eds.) Research in collegiate mathematics education III. (Issues in Mathematics Education, Volume 7, pp. 234-282). American Mathematical Society.
Yackel E., Cobb P. (1996). Sociomathematical norms, argumentation, and autonomy in mathematics. Journal for Research in Mathematics Education, 27, 458-477.

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